Ліміт паслядоўнасці

Лімі́т паслядоўнасці^[1]  — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае ліміт, кажуць, што яна збягаецца да свайго ліміту. У процілеглым выпадку (калі ліміту няма) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.

Паняцце ліміту няяўна ўсведамлялі яшчэ ў старажытнай Грэцыі. Яскравым прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця ліміту даў Агюстэн Луі Кашы.

Няхай элементы паслядоўнасці ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ належаць тапалагічнай прасторы X.

Кажуць, што паслядоўнасць ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ збягаецца да свайго ліміту ${\displaystyle a\in X}$ і пішуць

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,}$

калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе такі нумар N_U , што для ўсіх n ≥ N_U выконваецца ${\displaystyle x_{n}\in U(a).}$

Паслядоўнасць, якая мае канечны ліміт, называюць збе́жнай.

Калі ж паслядоўнасць не мае ліміту, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.

Сам запіс

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}}$

можна прачытаць, як «ліміт x_n пры імкненні n да бесканечнасці».

Няхай ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ збягаецца да свайго ліміту ${\displaystyle a}$ і пішуць

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,}$

калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) справядліва няроўнасць ${\displaystyle |x_{n}-a|\leq \varepsilon .}$

Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці ліміту такіх паслядоўнасцей значна не зменяцца.

• Тэарэма Бальцана — Ваерштраса. З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Няхай існуюць ліміты ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$ і ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=b}$, тады існуюць наступныя ліміты:

• ліміт сумы роўны суме лімітаў

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)=a+b,}$

• ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=a-b,}$

• ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=a\cdot b.}$

• Калі ${\displaystyle b\neq 0}$, то ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}}$.

• Калі ${\displaystyle a>0}$, то ліміт ступені існуе і

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{b_{n}}=a^{b}}$.

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}}$ для рэчаісных або камплексных лікаў z.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n(a^{\frac {1}{n}}-1)=\ln a}$ для рэчаісных a > 0.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dotsb +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)=\gamma }$ (Сталая Ойлера — Маскероні)
• Геаметрычны рад ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}}$ збягаецца да ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-q}}}$ пры ${\displaystyle |q|<1,}$ і разбягаецца пры ${\displaystyle |q|\geq 1.}$
• Гарманічны рад ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ разбягаецца.
• Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}$

Ліміт лікавай паслядоўнасці з’яўляецца найпрасцейшым прыкладам ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай X − метрычная прастора, г.зн. X — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) ${\displaystyle \rho :X\times X\to \mathbb {R} }$, якая адпавядае умовам:

• ρ(x,y) = 0, калі і толькі калі x = y;
• ρ(x,y) = ρ(y,x);
• ρ(x,y) = ρ(x,z) + ρ(z,y)

для адвольных элементаў x, y, z мноства X.

Няхай ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы X.

Пункт ${\displaystyle a\in X}$ называюць лімітам паслядоўнасці ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ пры імкненні n да бесканечнасці, калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) спраўджваецца няроўнасць ${\displaystyle \rho (x_{n},a)\leq \varepsilon .}$

• Ліміт (матэматыка)
• Ліміт функцыі