Няроўнасць

Няро́ўнасць — суадносіна між дзвюма аб'ектамі (лікамі, велічынямі, выразамі), у якім адзін з аб'ектаў большы (не большы) за іншы.

Адрозніваюць строгую і нястрогую няроўнасць. Нястрогая няроўнасць, у адрозненне ад строгай, дапушчае магчымасць роўнасці выразаў.

Няроўнасць абазначацца наступнымі знакамі:

• строгая няроўнасць
  • «>» (больш): «a > b» азначае «a больш за b»

${\displaystyle ~a>b\ \Leftrightarrow \ a\geq b\ \land \ a\neq b}$

• • «<» (менш): «a < b» азначае «a менш за b»

${\displaystyle ~a<b\ \Leftrightarrow \ a\leq b\ \land \ a\neq b}$

• нястрогая няроўнасць
  • «≥» (больш або роўна): «a ≥ b» азначае «a больш або роўна да b» або «a не менш за b»

${\displaystyle ~a\geq b\ \Leftrightarrow \ a>b\ \lor \ a=b}$

• • «≤» (менш або роўна): «a ≤ b» азначае «a менш або роўна да b» або «a не больш за b».

${\displaystyle ~a\leq b\ \Leftrightarrow \ a<b\ \lor \ a=b}$

Для любых двух аб'ектаў a і b мае месца адна, і толькі адна з суадносін:

• a > b
• a = b
• a < b

Няроўнасць з'яўляецца адносінай парадку, гэта значыць, яна з'яўляецца транзітыўнай, антысіметрычнай і рэфлексіўнай (для нястрогай) або антырэфлексіўнай (для строгай няроўнасці).

Напрыклад, трэба параўнаць лікі ${\displaystyle {\frac {4}{5}}i{\frac {3}{4}}}$. Для гэтага знойдзем іх рознасць:

${\displaystyle {\frac {4}{5}}-{\frac {3}{4}}={\frac {16-15}{20}}={\frac {1}{20}}}$

.

Значыць, ${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{20}}}$., г. зн. ${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$ атрымліваецца прыбаўленнем да ліку ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ дадатнага ліку ${\displaystyle {\frac {1}{20}}}$. Гэта адзначае, што лік ${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$ большы за ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ на ${\displaystyle {\frac {1}{20}}}$. Такім чынам, ${\displaystyle {\frac {4}{5}}>{\frac {3}{4}}}$, паколькі іх рознасць дадатная.

Пры складанні няроўнасцей аднолькавага знака атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:
калі ${\displaystyle ~a>c}$ i ${\displaystyle ~c>d}$, то ${\displaystyle ~a+c>b+d}$.

Пры множанні няроўнасцей аднолькавага знака, у якіх левыя і правыя часткі дадатныя, атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:
калі ${\displaystyle ~a>c}$, ${\displaystyle ~c>d}$ і ${\displaystyle ~a,b,c,d}$ - дадатныя лікі, то ${\displaystyle ~ac>bd}$.

• Калі ${\displaystyle ~a>b}$ i ${\displaystyle ~b>c}$, то ${\displaystyle ~a>c}$.

• Калі да абедзвюх частак няроўнасцей дадаюць адзін і той жа лік, то знак няроўнасці не зменіцца.

• Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа дадатны лік, то знак няроўнасці не зменіцца.

Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа адмоўны лік, то знак няроўнасці зменіцца на процілеглы.