Няроўнасць трохвугольніка

Няро́ўнасць тро́хвуго́льніка ў геаметрыі, функцыянальным аналізе і сумежных дысцыплінах — адна з інтуітыўных уласцівасцей адлегласці. Яна сцвярджае, што даўжыня любой стараны трохвугольніка заўсёды не перавышае сумы даўжынь яго іншых старон. Няроўнасць трохвугольніка ўключаецца як аксіёма ў азначэнне метрычнай прасторы, нормы і г.д.; таксама, часта з'яўляецца тэарэмаю ў розных тэорыях.

Няхай ёсць трохвугольнік ${\displaystyle \Delta ABC.}$ Тады ${\displaystyle |AC|\leqslant |AB|+|BC|,}$ прычым роўнасць ${\displaystyle |AC|=|AB|+|BC|}$ дасягаецца толькі тады, калі трохвугольнік выраджаны, і пункт ${\displaystyle B}$ ляжыць строга паміж ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle C}$.

Еўклід у Пачатках даказвае няроўнасць трохвугольніка наступным чынам. Спачатку даказваецца тэарэма, што знешні вугал трохвугольніка большы за ўнутраны вугал, з ім не сумежны. З яе выводзіцца тэарэма аб тым, што насупраць большай стараны трохвугольніка ляжыць большы ўнутраны вугал. Далей, метадам ад процілеглага даказваецца тэарэма аб тым, што насупраць большага ўнутранага вугла трохвугольніка ляжыць большая старана. А з гэтай тэарэмы выводзіцца няроўнасць трохвугольніка.

Няхай ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ — нармаваная вектарная прастора, дзе ${\displaystyle X}$ — адвольнае мноства, а ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — вызначаная на ${\displaystyle X}$ норма. Тады па азначэнню апошняй справядліва:

${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.}$

У гільбертавай прасторы, няроўнасць трохвугольніка з'яўляецца вынікам няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

Няхай ${\displaystyle (X,\rho )}$ — метрычная прастора, дзе ${\displaystyle X}$ — адвольнае мноства, а ${\displaystyle \rho }$ — вызначаная на ${\displaystyle X}$ метрыка. Тады па азначэнню апошняй

${\displaystyle \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.}$

• Моцная няроўнасць трохвугольніка

  ${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))}$

Вынікам няроўнасці трохвугольніка ў нармаванай і метрычнай прасторах з'яўляюцца наступныя няроўнасці:

• ${\displaystyle {\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;}$
• ${\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.}$

Кожны плоскі вугал выпуклага трохграннага вугла меншы за суму двух другіх яго плоскіх вуглоў.