Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага

Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы. Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.

Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць няроўнасцю Шварца і няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац Бунякоўскага^[1]. Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца няроўнасцю Кашы і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.

Няхай ${\displaystyle L}$ - лінейная прастора са скалярным здабыткам ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle }$. Няхай ${\displaystyle \|x\|}$ — норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн. ${\displaystyle \|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L}$. Тады для любых ${\displaystyle x,\;y\in L}$ маем:

${\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,}$

прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ прапарцыянальныя (калінеарныя).

У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што ${\displaystyle \|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,\;y\rangle ^{2}=S(x,\;y)^{2}}$, дзе ${\displaystyle S(x,\;y)}$ — плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$.

У агульным выпадку:

${\displaystyle \|x\|^{2}-{\frac {\langle x,\;y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}=\left\|x-{\frac {\langle x,\;y\rangle }{\|y\|^{2}}}y\right\|^{2}.}$

• У прасторы камплексназначных квадратычна складальных паслядоўнасцей ${\displaystyle l^{2}}$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=1}^{\infty }x_{k}{\bar {y}}_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{2}\right),}$

дзе ${\displaystyle {\bar {y}}_{k}}$ абазначае камплекснае спалучэнне ${\displaystyle y_{k}}$.

• У прасторы камплексных квадратычна інтэгравальных функцый ${\displaystyle L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

${\displaystyle \left|\int \limits _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits _{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits _{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).}$

• У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

  ${\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],}$

дзе ${\displaystyle \mathrm {cov} }$ абазначае каварыяцыю, а ${\displaystyle \mathrm {D} }$ — дысперсію.

• Калі ${\displaystyle \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ,}$ то ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} }$ справядліва наступнае

${\displaystyle 0\leqslant \langle \lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle =\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle .}$

Значыць дыскрымінант мнагачлена ${\displaystyle \lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle }$ недадатны, г.зн.

${\displaystyle D=(2\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.}$

Такім чынам,

${\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|.}$

• Калі ${\displaystyle Im\langle x,y\rangle \neq 0,}$ то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе ${\displaystyle \langle x,y\rangle =re^{i\phi }.}$

Вызначым вектар ${\displaystyle z=e^{-i\phi }x.}$ Тады

${\displaystyle \langle z,y\rangle =e^{-i\phi }\langle x,y\rangle =r=\left|\langle x,y\rangle \right|\in \mathbb {R} }$ і

${\displaystyle \langle z,z\rangle =e^{-i\phi }\langle x,e^{-i\phi }x\rangle =e^{-i\phi }e^{i\phi }\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle }$

Да скалярнага здабытку ${\displaystyle \langle z,y\rangle \in \mathbb {R} }$ прыменім вынік першага пункта доказу.

${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot \|y\|=\|x\|\cdot \|y\|}$