Першаісная

Першаісная
Формула, якая апісвае закон або тэарэму	${\displaystyle F'(x)=f(x)}$
Пазначэнне ў формуле	${\displaystyle F}$

Першаі́сная^[1] функцыі f(x) − такая функцыя F(x), вытворная якой для ўсіх x з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі f(x), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць

${\displaystyle F'(x)=f(x).}$

Сукупнасць усіх першаісных функцыі f(x) на прамежку (a,b) называецца нявы́значаным інтэгра́лам^[1] і пазначаецца сімвалам

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем.

• Калі F(x) − першаісная функцыі f(x) на прамежку (a,b), то ўсякая першаісная функцыі f(x) на гэтым прамежку ма́е выгляд F(x) + C, дзе C — адвольная сталая^[2].

• Сувязь першаіснай з вытворнаю

${\displaystyle \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x),}$

${\displaystyle \int F'(x)\,dx=F(x)+C.}$

• Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам

${\displaystyle d\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx,}$

${\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C.}$

• Няхай a ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады

${\displaystyle \int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx.}$

• Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:

${\displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.}$

• Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай f(x) непарыўная на прамежку [a , b]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt}$

ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b] ^[2].

• Формула Ньютана-Лейбніца. Няхай F(x) ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b], тады праўдзіцца роўнасць

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),}$

называная формулай Ньютана-Лейбніца.

• Метад раскладання. Калі

  ${\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,}$

  то

  ${\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g_{1}(x)\,dx+\int g_{2}(x)\,dx.\,}$

• Увядзенне новага аргумента. Калі

  ${\displaystyle \int g(x)\,dx=G(x)+C,\,}$

  то

  ${\displaystyle \int g(u)\,du=G(u)+C,\,}$

  дзе ${\displaystyle u=\varphi (x)\,}$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.

• Метад падстаноўкі. Калі ${\displaystyle g(x)}$ — непарыўная, то, прымаючы

  ${\displaystyle x=\varphi (t),\,}$

  дзе ${\displaystyle \varphi (t)\,}$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем

  ${\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g(\varphi (t))\,\varphi '(t)\,dt.}$

• Метад інтэгравання па частках. Калі ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ — нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад x, то

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\,}$

• Функцыя f(z) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.

• Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:

${\displaystyle \int \limits _{1}^{z}{\frac {dt}{t}}=\operatorname {Ln} z}$

У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы^[3]:

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin(x^{2})\,dx,\qquad \int {\frac {e^{x}}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {dx}{\ln x}}.}$

У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый^[2][3]:

${\displaystyle \int 0\,dx=C;}$

${\displaystyle \int 1\,dx=x+C;}$

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C,\qquad (\alpha \neq -1);\,}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C;\,}$

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C;\,}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\qquad (a>0,\ a\neq 1);\,}$

${\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\,}$

${\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x+C;\,}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x+C;\,}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_{1},\qquad (C_{1}={\frac {\pi }{2}}+C);\,}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arctg} x+C;\,}$

${\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C;\,}$

${\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C;\,}$

• Вытворная функцыі
• Інтэграл Рымана
• Спіс інтэгралаў