Праблема Варынга

Прабле́ма Ва́рынга — сцвярджэнне ў тэорыі лікаў, згодна з якім пры кожным цэлым ${\displaystyle n>1}$ існуе такі лік ${\displaystyle k=k(n)}$, што ўсякі натуральны лік ${\displaystyle N}$ можна прадставіць у выглядзе:

${\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N\quad }$

з цэлымі неадмоўнымі ${\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}}$.

Як гіпотэза прапанована ў 1770 годзе Эдвардам Уорынгам  (руск.) (бел. (Варынгам)^[1], даказана Гільбертам у 1909 годзе. Ужо пасля доказу вакол пытанняў, як звязаных з доказам асноўнай праблемы, так і з рознымі варыянтамі і абагульненнямі, праведзена значная колькасць даследаванняў, у рамках якіх атрыманы цікавыя вынікі і развіты важныя метады. У Матэматычнай прадметнай класіфікацыі  (англ.) (бел. (MSC) праблеме Варынга і звязаным з ёю даследаванням прысвечаны асобны раздзел трэцяга ўзроўню: 11P05, «Праблема Варынга і яе варыянты»^[2].

Да ХХ стагоддзя праблему ўдавалася рашыць толькі ў асобных выпадках. Напрыклад, Тэарэма Лагранжа аб суме чатырох квадратаў  (руск.) (бел. устанаўлівае k = 4 для праблемы ў выпадку n = 2.

Першы доказ справядлівасці гіпотэзы Варынга быў даны ў 1909 годзе Гільбертам^[3]. Доказ быў вельмі аб'ёмным і будаваўся на складаных аналітычных канструкцыях, уключаючы пяцікратныя інтэгралы.

У 1920 годзе новы доказ гэтай жа тэарэмы далі Хардзі  (англ.) (бел. і Літлвуд  (руск.) (бел., распрацаваўшы дзеля гэтага адмысловы кругавы метад^[4]. Яны ўвялі дзве функцыі ${\displaystyle g(n)}$ і ${\displaystyle G(n)}$:

• ${\displaystyle g(n)}$ — найменшае ${\displaystyle k}$ такое, што праблема Варынга вырашальная пры ${\displaystyle N\geqslant 1}$;
• ${\displaystyle G(n)}$ — найменшае ${\displaystyle k}$ такое, што праблема Варынга мае рашэнне пры ${\displaystyle N\geqslant N_{0}(n)}$.

Ясна, што ${\displaystyle G(n)\leqslant g(n)}$. Хардзі і Літлвуд далі для ${\displaystyle G(n)}$ ацэнку знізу ${\displaystyle n<G(n)}$, якая па парадку і па канстанце ў агульным выпадку не палепшана (па стане на 2010-я гг.), і ацэнку зверху, якая пасля была карэнным чынам палепшана. Гэта функцыя з тае пары называецца функцыяй Хардзі. Яны таксама атрымалі асімптатычную формулу для ліку рашэнняў праблемы Варынга.

Такім чынам, у выніку даследавання праблемы Варынга былі распрацаваны магутныя аналітычныя метады. Аднак Ю. У. Ліннік у 1942 годзе знайшоў доказ асноўнай тэарэмы на аснове элементарных метадаў^[5].

Функцыя ${\displaystyle g(n)}$ сёння вядома. Для больш фундаментальнай функцыі ${\displaystyle G(n)}$ атрыман шэраг ацэнак зверху і знізу, але яе канкрэтныя значэнні невядомыя нават для малых ${\displaystyle n}$.

Іаган Эйлер  (руск.) (бел., сын Леанарда Эйлера, выказаў здагадку каля 1772 года^[6], што

${\displaystyle g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2,}$

дзе ${\displaystyle [x]}$ абазначае цэлую частку  (руск.) (бел. рэчаіснага ліку ${\displaystyle x}$.

У 1940-я гады Дзіксан  (англ.) (бел., Пілаі  (англ.) (бел., Рубугундай  (англ.) (бел., Нівэн  (англ.) (бел.^[7] з улікам выніку Малера  (англ.) (бел.^[8] даказалі, што гэта верна за выключэннем канечнага ліку значэнняў ${\displaystyle n}$, большых за 471 600 000. Ёсць гіпотэза, што гэта формула верная для ўсіх натуральных лікаў.

Прывядзём некалькі першых значэнняў ${\displaystyle g(n)}$:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, … ^[9]

Цікава, што, напрыклад, для n = 3 толькі лікі 23 і 239 нельга прадставіць сумаю васьмі кубоў.

У 1924 годзе І. М. Вінаградаў прымяніў да праблемы Варынга свой метад трыганаметрычных сум^[10]. Гэта не толькі моцна спрасціла доказ, але і адкрыла шлях да прынцыповага паляпшэння ацэнкі для ${\displaystyle G(n)}$. Пасля цэлага рада ўдакладненняў ён у 1959 годзе даказаў, што

${\displaystyle G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n.}$

Прымяняючы сканструяваную ім p-адычную форму кругавога метаду Хардзі — Літлвуда — Рамануджана — Вінаградава да ацэнак трыганаметрычных сум, у якіх сума бярэцца па ліках з малымі простымі дзельнікамі, А. А. Карацуба  (руск.) (бел. палепшыў^[11] гэту ацэнку. Пры ${\displaystyle n\geqslant 400}$:

${\displaystyle G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.}$

Пазней ацэнку палепшыў Т. Вулі  (руск.) (бел.. Спачатку ў працы 1992 года^[12], а потым — у 1995 годзе^[13]:

${\displaystyle G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(\log \log n/\log n).}$

Воан  (англ.) (бел. і Вулі напісалі аб праблеме Варынга аб'ёмны аглядны артыкул^[14], у якім вынік Карацубы адносяць да публікацыі Воана 1989 года^[15].

Фактычна велічыня ${\displaystyle G(n)}$ вядома толькі для 2 значэнняў аргумента, а іменна ${\displaystyle G(2)=4}$ і ${\displaystyle G(4)=16}$. Апошні вынік даказаў Х. Дэвенпорт  (англ.) (бел. ^[16].

Верхнія межы ў табліцы справа для ${\displaystyle n=5,\;\ldots ,\;20}$ прыведзены ў працы Р. Ч. Воана  (англ.) (бел. і Т. Вулі  (руск.) (бел.^[14].

Верхнюю ацэнку ${\displaystyle G(3)\leqslant 7}$ даказаў^[5] Ю. У. Ліннік. Камп'ютарныя эксперыменты дазваляюць меркаваць, што гэту ацэнку можна палепшыць да 4^[17]. Найбольшы вядомы лік, які нельга прадставіць сумаю 4 кубоў, гэта 7 373 170 279 850^[18]. Таксама камп'ютарныя эксперыменты паказваюць, што магчыма ${\displaystyle G(5)<G(4)}$.

Акрамя дакладных значэнняў ${\displaystyle G(n)}$ адкрытым застаецца пытанне і пра лік рашэнняў праблемы Варынга пры заданых параметрах і абмежаваннях.

Праблема Варынга — Гольдбаха ставіць пытанне^[19]: ці можна прадставіць любы цэлы лік сумаю n-ых ступеней простых лікаў, дзе колькасць складнікаў абмежавана некаторай сталай велічынёю (па аналогіі з праблемаю Варынга і праблемаю Гольдбаха  (англ.) (бел.).

Хуа Ло-кен  (англ.) (бел., з дапамогаю палепшаных метадаў Хардзі — Літлвуда і Вінаградава, атрымаў^[20] для ліку простых складнікаў ацэнку зверху O(n² log n).

Абагульненнем праблемы Варынга можна лічыць пытанне аб дакладнасці прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней цэлых, не развязанае нават для другой ступені.

Усе натуральныя лікі, за выключэннем лікаў віду 4^m(8n+7), дзе m, n = 0, 1, 2, ..., можна прадставіць у выглядзе ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Натуральна ўзнікае пытанне: як блізка да заданага ліку ${\displaystyle N}$ можна падысці сумаю двух квадратаў цэлых лікаў? Паколькі ${\displaystyle (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1}$ і правая частка гэтай роўнасці мае парадак кораня квадратнага з ${\displaystyle n^{2}}$, то адным квадратам можна падысці да ${\displaystyle N}$ на адлегласць парадку ${\displaystyle N^{1/2}}$. Такім чынам, сумаю двух квадратаў можна падысці да ${\displaystyle N}$ на адлегласць парадку ${\displaystyle N^{1/4}}$. А ці можна падысці бліжэй? З часоў Эйлера стаіць гэта задача «без руху», хоць ёсць гіпотэза, што

${\displaystyle \min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },}$

дзе ${\displaystyle \varepsilon >0,\;\varepsilon }$ — любое, ${\displaystyle N\geqslant N_{1}(\varepsilon )}$. Замяніць ${\displaystyle 1/4}$ у папярэднім разважанні на ${\displaystyle 1/4-c}$ з адвольна малым фіксаваным ${\displaystyle c>0}$ не ўдаецца, і гэта, на першы погляд, простая задача «стаіць на месцы» з сярэдзіны XVIII стагоддзя^[21].

У сваіх далейшых даследаваннях па праблеме Варынга А. А. Карацуба атрымаў^[22][23] наступнае двухмернае абагульненне праблемы:

Разгледзім сістэму ўраўненняў

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,}$

дзе ${\displaystyle N_{i}}$ — зададзеныя натуральныя лікі з аднолькавым парадкам росту, ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$, а ${\displaystyle x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }}$ — невядомыя натуральныя лікі. Гэта сістэма вырашальная, калі ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$, а калі ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$, то ёсць такія ${\displaystyle N_{i}}$, што сістэма не мае рашэнняў.

• Кругавы метад Хардзі — Літлвуда  (англ.) (бел.

• Ва́ринга пробле́ма // Математический энциклопедический словарь (руск.) / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 107. — 847 с. — 150 000 экз.
• Davenport, H. (2005). Analytic Methods for Diophantine Equations and Diophantine Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 9780521605830.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002.