Піфагорава тройка

Піфагорава тройка — упарадкаваная тройка натуральных лікаў a, b і c, такіх што

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Такія тройкі звычайна запісваюць як (a, b, c), напрыклад, (3, 4, 5). Калі (a, b, c) — піфагорава тройка, тады (ka, kb, kc) — таксама піфагорава для любога натуральнага k.

Нескарачальная піфагорава тройка — піфагорава тройка, у якой a, b і c узаемна простыя.

Трохвугольнік, стораны якога утвараюць піфагораву тройку, называецца піфагоравым трохвугольнікам.

Назва паходзіць ад тэарэмы Піфагора, якая сцвярджае, што ў прамавугольным трохвугольніку даўжыні старон звязаны ўраўненнем

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Больш таго, справядліва і адваротнае сцвярджэнне: калі даўжыні старон некаторага трохвугольніка задавальняюць гэта ўраўненне, то ён прамавугольны. Таму піфагоравы тройкі адпавядаюць прамавугольным трохвугольнікам з цэлымі даўжынямі старон (даўжыні ўсіх трох старон адначасова павінны быць цэлымі лікамі). Варта заўважыць, што не любы прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца піфагоравым. Напрыклад, трохвугольнік са старанамі (1, 1, √2) не піфагораў, бо лік √2 не цэлы (больш таго, ён ірацыянальны).

Тут прыведзены 16 нескарачальных піфагоравых троек з c ≤ 100:

Заўважым, што, напрыклад, піфагорава тройка (6, 8, 10) скарачальная, бо яна кратна тройцы (3, 4, 5). Скарачальныя тройка лёгка атрымаць з нескарачальных дамнажэннем на натуральны лік.

А тут пералічаны нескарачальныя піфагоравы тройкі з 100 < c ≤ 300:

Еўклідава формула^[1] — асноўная формула для вылічэння піфагоравых троек па двум дадатным цэлым параметрам m і n, дзе m > n.

Тройка, знойдзеная па Еўклідавай формуле, нескарачальная тады і толькі тады, калі m і n узаемна простыя і лік m − n няцотны. Калі ж і m, і n абодва няцотныя, тады a, b і c будуць цотнымі, і ў выніку тройка будзе скарачальная; тым не менш дзяленне a, b і c на 2 ў выпадку ўзаемна простых m і n дае нескарачальную тройку.^[2]