Прамавугольны трохвугольнік

Прамавугольны трохвугольнік — гэта трохвугольнік, у якім адзін вугал прамы (гэта значыць складае 90 градусаў).

Суадносіны паміж бакамі і вугламі прамавугольнага трохвугольніка ляжаць у аснове трыганаметрыі.

• Бок, супрацьлеглы да прамога вугла, называецца гіпатэнузай (бок c на малюнку вышэй).
• Бакі, прылеглыя да прамога вугла, называюцца катэтамі. Бок a можа быць ідэнтыфікаваны як прылеглы да вугла B і процілеглы да вугла A, а бок b — як прылеглы да вугла A і процілеглы да В.

• Калі даўжыні ўсіх трох бакоў прамавугольнага трохвугольніка з'яўляюцца цэлымі лікамі, то трохвугольнік завецца піфагоравым трохвугольнікам, а даўжыні яго бакоў утвараюць так званую піфагораву тройку.

• Па двух катэтах

Калі катэты аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэтам іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

• Па катэтах і вострым вугле

Калі катэт і прылеглы да яго востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэту і прылегламу да яго востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

• Па гіпатэнузе і вострым вугле

Калі гіпатэнуза і востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя гіпатэнузе і востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

• Па гіпатэнузе і катэту

Калі гіпатэнуза і катэт аднаго прамавугольнага трохвугольніка роўныя гіпатэнузе і катэту іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

Далей мяркуем, што ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ даўжыні катэтаў, а ${\displaystyle c}$ даўжыня гіпатэнузы

• (Тэарэма Піфагора)

  ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

• Плошча прамавугольнага трохвугольніка роўная палове здабытку двух яго катэтаў. Гэта значыць,

• ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ab.}$

• Для медыян ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$ і ${\displaystyle m_{c}}$ выконваюцца наступныя суадносіны:

• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

• • У прыватнасці, медыяна, якая падае на гіпатэнузу, роўная палове гіпатэнузы.

Калі вышыня праведзена з вяршыні з прамым вуглом да гіпатэнузы, то трохвугольнік дзеліцца на два меншыя трохвугольнікі, падобныя зыходнаму і падобныя адзін аднаму. З гэтага вынікае:

• Вышыня ёсць сярэдняе геаметрычнае (сярэдняе прапарцыянальнае) двух сегментаў гіпатэнузы.

• Кожны катэт трохвугольніка ёсць сярэдняе прапарцыянальнае гіпатэнузы і сумежных сегментаў.

• Справядлівыя суадносіны:

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}$ (часам гэта называюць тэарэмай вышыні прамавугольнага трохвугольніка)

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd,}$

дзе a, b, c, d, e, f паказаныя на дыяграме.^[1] Такім чынам:

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

• Вышыня, апушчаная на гіпатэнузу, звязана з катэтамі прамавугольнага трохвугольніка суадносінамі:^[2][3]

  ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

Радыус упісанай акружнасці ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$ і гіпатэнузай ${\displaystyle m_{c}}$ роўны:

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

Калі адрэзкі даўжынёй ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$, выходныя з вяршыні C, дзеляць гіпатэнузу на тры роўныя адрэзкі даўжыні c/3, то:^{[4]:pp. 216-217}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

Прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца адзіным трохвугольнікам з двума, а не трыма, упісанымі квадратамі, якія адрозніваюцца адзін ад аднаго.^[5]

Хай h і s (h>s) — бакі двух квадратаў, упісаных у прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай c. Тады:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Перыметр прамавугольнага трохвугольніка роўны суме радыусаў упісанай і трох апісаных акружнасцей.

	Прамавугольны трохвугольнік на Вікісховішчы

• Calculator for right triangles Архівавана 30 верасня 2017.
• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.