Цэлы алгебраічны лік

Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца камплексныя (і ў прыватнасці рэчаісныя) карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.

Адносна складання і множання камплексных лікаў, цэлыя алгебраічныя лікі ўтвараюць колца ${\displaystyle \Omega }$. Відавочна, ${\displaystyle \Omega }$ з'яўляецца падколцам поля алгебраічных лікаў і ўтрымлівае ўсе звычайныя цэлыя лікі.

Няхай ${\displaystyle u}$ — некаторы камплексны лік. Разгледзім колца ${\displaystyle \mathbb {Z} [u]}$, спароджанае добаўленнем ${\displaystyle u}$ да колца звычайных цэлых лікаў ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Яно ўтворана ўсімі магчымымі значэннямі ${\displaystyle f(u)}$, дзе ${\displaystyle f(z)}$ — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі. Тады спраўджваецца наступны крытэрый: лік ${\displaystyle u}$ з'яўляецца цэлым алгебраічным лікам тады і толькі тады, калі ${\displaystyle \mathbb {Z} [u]}$ — канечнапароджаная абелева група.

• Гаусавы цэлыя лікі.
• Карані з адзінкі — карані мнагачлена ${\displaystyle x^{n}-1}$ над полем камплексных лікаў.

• Усе рацыянальныя лікі, якія ўваходзяць у ${\displaystyle \Omega }$, з'яўляюцца на справе цэлымі лікамі. Інакш кажучы, ні адзін нескарачальны дроб ${\displaystyle m/n}$ з назоўнікам, большым за адзінку, цэлым алгебраічным лікам быць не можа.
• Для кожнага алгебраічнага ліку ${\displaystyle u}$ існуе натуральны лік ${\displaystyle n}$ такі, што ${\displaystyle nu}$ — цэлы алгебраічны лік.
• Корань любой ступені з цэлага алгебраічнага ліку таксама з'яўляецца цэлым алгебраічным лікам.

Тэорыю цэлых алгебраічных лікаў стварылі ў XIX стагоддзі Гаус, Якобі, Дэдэкінд, Кумер і іншыя. Цікавасць да яе, сярод іншага, выклікана тым, што гістарычна гэта структура аказалася першай у матэматыцы, дзе было выяўлена неадназначнае раскладанне на простыя множнікі. Класічныя прыклады пабудаваў Кумер; скажам, у падколцы алгебраічных лікаў віду ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ маюць месца 2 раскладанні:

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}}),}$

прычым у абодвух выпадках усе множнікі — простыя, г. зн. не раскладаюцца ў гэтым падколцы.

Даследаванне гэтае праблемы прывяло да адкрыцця важных паняццяў ідэала і простага ідэала, у структуры якіх раскладанне на простыя множнікі можна вызначыць адназначна.

• К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
• Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел.(недаступная спасылка) М., 1964.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.(недаступная спасылка) М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
• Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел