Цэнтральная сіметрыя

Цэнтральнай сіметрыяй (часам цэнтральнай інверсіяй) адносна пункта A называюць пераўтварэнне прасторы, якое пераводзіць пункт X у такі пункт X`, што A — сярэдзіна адрэзка XX`. Цэнтральная сіметрыя з цэнтрам у пункце A звычайна абазначаецца праз ${\displaystyle Z_{A}}$, у той час як абазначэнне ${\displaystyle S_{A}}$ можна пераблытаць з восевай сіметрыяй. Фігура называецца сіметрычнай адносна пункта A, калі для кожнага пункта фігуры сіметрычны ёй пункт адносна пункта A таксама належыць гэтай фігуры. Пункт A называецца цэнтрам сіметрыі фігуры. Кажуць таксама, што фігура валодае цэнтральнай сіметрыяй.

Іншыя назвы гэтага пераўтварэння — сіметрыя з цэнтрам A. Цэнтральная сіметрыя ў планіметрыі з'яўляецца асобным выпадкам павароту, дакладней, з'яўляецца паваротам на 180 градусаў.

• Няхай G — аператар цэнтральнай сіметрыі, пункт A зададзены радыус-вектарам ${\displaystyle {\vec {r_{A}}}}$, а пункт, які пераўтвараецца, задаецца радыус-вектарам ${\displaystyle {\vec {x}}}$. Тады мае месца наступная формула:

• ${\displaystyle G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}}$

Калі фігура пераходзіць у сябе пры сіметрыі адносна пункта A, то A называюць цэнтрам сіметрыі гэтай фігуры.

• Цэнтральная сіметрыя з'яўляецца рухам (ізаметрыяй).

• У n-мернай прасторы калі пераўтварэнне R з'яўляецца паслядоўным адлюстраваннем адносна n ўзаемна перпендыкулярных гіперплоскасцей, то R — цэнтральная сіметрыя адносна агульнага пункта гэтых гіперплоскасцей. Акрамя таго:

• У цотнамерных прасторах цэнтральная сіметрыя захоўвае арыентацыю, а ў няцотнамерных — не захоўвае.

• Цэнтральную сіметрыю можна прадставіць таксама як гоматэтыю з цэнтрам A і каэфіцыентам −1 (${\displaystyle H_{A}^{-1}}$).

• Кампазіцыя дзвюх цэнтральных сіметрый — паралельны перанос на падвоены вектар з першага цэнтра ў другі:

• ${\displaystyle Z_{A}\circ Z_{B}=T_{2{\vec {AB}}}}$

У аднамернай прасторы (на прамой) цэнтральная сіметрыя з'яўляецца люстраною сіметрыяй.

На плоскасці (у 2-мернай прасторы) сіметрыя з цэнтрам A ўяўляе сабой паварот на 180° з цэнтрам A (${\displaystyle R_{A}^{180}}$). Цэнтральная сіметрыя на плоскасці, як і паварот, захоўвае арыентацыю.

Цэнтральную сіметрыю ў трохмернай прасторы называюць таксама сферычнай сіметрыяй.

Яе можна прадставіць як кампазіцыю адлюстравання адносна плоскасці, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі, з паваротам на 180° адносна прамой, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі і перпендыкулярнай вышэйзгаданай плоскасці адлюстравання.

У 4-мернай прасторы цэнтральную сіметрыю можна прадставіць як кампазіцыю двух паваротаў на 180° вакол дзвюх узаемна перпендыкулярных плоскасцей (перпендыкулярных ў 4-мерным сэнсе), якія праходзяць праз цэнтр сіметрыі.

• Восевая сіметрыя
• Люстраная сіметрыя