Шчыльнасць імавернасці

Шчыльнасць імавернасці абсалютна непарыўнага размеркавання — функцыя, якая паказвае адносную імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне ў наваколлі^[en] некаторага пункту. Напрыклад, калі шчыльнасць імавернасці ў пункце 0 удвая большая за шчыльнасць у пункце 3, то значэнні выпадковай велічыні будуць трапляць у наваколле нуля ўдвая часцей, чым у наваколле тройкі.

Інтэграл шчыльнасці імавернасці па некаторым прамежку^[en] (іншымі словамі, плошча пад графікам шчыльнасці) роўны імавернасці таго, што значэнне выпадковай велічыні будзе ляжаць у гэтым прамежку. Шчыльнасць імавернасці прымае толькі неадмоўныя значэнні, а агульная плошча пад цэлым графікам роўная 1^[1]:79.

Няхай існуе бактэрыя, якая жыве ў сярэднім ад 4 да 6 гадзін. Дапусцім, што імавернасць таго, што бактэрыя загіне ў інтэрвале ад 5 да 5.01 гадзіны роўная 0.02 (то бок 2 %), ад 5 да 5.001 гадзіны — 0.002, ад 5 да 5.0001 гадзіны — 0.0002, і гэтак далей. У гэтым выпадку дзель (імавернасць смерці ў інтэрвале)/(працягласць інтэрвалу) роўная ${\displaystyle {\frac {0.02}{5.01-5}}=2.}$ Тады можна сказаць, што шчыльнасць імавернасці смерці бактэрыі ў пункце 5 роўная 2. Каб знайсці імавернасць таго, што бактэрыя загіне ў некаторым невялікім інтэрвале каля 5 гадзін, трэба памножыць даўжыню гэтага інтэрвалу (у гадзінах) на шчыльнасць. Напрыклад, імавернасць таго, што бактэрыя загіне цягам 3 секунд пасля 5 гадзін, роўная ${\displaystyle 2\cdot {\frac {3}{60\cdot 60}}\approx 0.0017=0.17\%.}$

Трэба заўважыць, што імавернасць будзе дадатнай для інтэрвалаў, у той час як імавернасць таго, што бактэрыя загіне роўна ў 5 гадзін, роўная нулю, хоць і такая падзея гіпатэтычна магчымая. З гэтай прычыны і ўводзіцца паняцце шчыльнасці, звязанае з імавернасцю на інтэрвале.

На практыцы значэнне дачынення паміж імавернасцю і працягласцю інтэрвалу можа змяняцца пры памяншэнні інтэрвалу, а не быць канстантным як у прыкладзе вышэй, таму каб знайсці шчыльнасць у пункце робяць пераход к ліміту

${\displaystyle f_{X}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P(t\leq X\leq t+\Delta t)}{\Delta t}},}$

дзе ${\displaystyle X}$ — выпадковая велічыня (напрыклад, час смерці бактэрыі), ${\displaystyle f_{X}}$ — шчыльнасць імавернасці, ${\displaystyle P(t\leq X\leq t+\Delta t)}$ — імавернасць таго, што ${\displaystyle X}$ прыме значэнне ад ${\displaystyle t}$ да ${\displaystyle t+\Delta t}$.

Адным са спосабаў задання размеркавання выпадковай велічыні ёсць функцыя размеркавання, якая вызначаецца як^[1]:70

${\displaystyle F_{\xi }(x)=P(\xi <x),}$

дзе ${\displaystyle \xi }$ — выпадковая велічыня, ${\displaystyle P(\xi <x)}$ — імавернасць таго, што ${\displaystyle \xi }$ прымае значэнні, меншыя за некаторы рэчаісны лік ${\displaystyle x}$.

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання звязаная са шчыльнасцю імавернасці праз роўнасць ${\displaystyle F_{\xi }(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{\xi }(t)dt}$. Пры гэтым амаль усюды^[en] мае месца роўнасць ${\displaystyle F_{\xi }'(x)=f_{\xi }(x)}$, то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання^[1]:78-79.

• Умоўная шчыльнасць размеркавання