Эўклідава геаметрыя

Эўклі́дава геаме́трыя (або элементарная геаметрыя) — геаметрычная тэорыя, заснаваная на сістэме аксіём, упершыню выкладзенай у «Пачатках» Эўкліда (III ст. да н. э.).

Элементарная геаметрыя — геаметрыя, якая вызначаецца ў асноўным групаю перамяшчэнняў (ізаметрый) і групаю падобнасці. Але змест элементарнай геаметрыі не вычэрпваецца названымі пераўтварэннямі. Так, да элементарнае геаметрыі таксама адносяць пераўтварэнне інверсіі, пытанні сферычнай геаметрыі, элементы геаметрычных пабудоў, тэорыю вымярэння геаметрычных велічынь і іншыя пытанні.

Элементарную геаметрыю часта называюць эўклідавай геаметрыяй, бо першы вядомы сістэматычны выклад, хоць і недастаткова строгі, быў у «Пачатках» Эўкліда. Першую строгую аксіяматыку элементарнае геаметрыі даў Давід Гільберт.

Праблема поўнай аксіяматызацыі элементарнай геаметрыі — адна з праблем геаметрыі, якая узнікла яшчэ ў Старажытнай Грэцыі ў сувязі з крытыкаю гэтай першай спробы пабудаваць поўную сістэму аксіём так, каб усе сцвярджэнні эўклідавай геаметрыі вынікалі з гэтых аксіём чыста лагічным вывадам без нагляднасці чарцяжоў.

У «Пачатках» Эўкліда была дадзена наступная аксіяматыка:

1. Ад усякага пункта да ўсякага пункта можна правесці прамую.
2. Абмежаваную прамую можна непарыўна працягваць па прамой.
3. З усякага цэнтра ўсякім растворам можна апісаць круг.
4. Усе прамыя вуглы роўныя між сабою.
5. Калі прамая, перасякаючы дзве прамыя, утварае ўнутраныя аднабаковыя вуглы, меншыя чым два прамыя, то, працягнутыя неабмежавана, гэтыя дзве прамыя сустрэнуцца з таго боку, дзе вуглы меншыя за два прамыя.

Даследаванне сістэмы аксіём Эўкліда ў другой палавіне XIX ст. паказала яе непаўнату.

У 1899 годзе Давід Гільберт прапанаваў першую дастаткова строгую аксіяматыку эўклідавай геаметрыі. Спробы палепшыць эўклідаву аксіяматыку прадпрымаліся да Гільберта Морыцам Пашам, Шурам, Джузэпэ Пеана, Джузэпэ Веранезе, але падыход Гільберта, пры ўсёй яго кансерватыўнасці ў выбары паняццяў, аказаўся больш паспяховым.

Існуюць і іншыя сучасныя аксіяматыкі, найбольш вядомыя:

• аксіяматыка Тарскага
• аксіяматыка Біргофа, у якой усяго 4 аксіёмы, але пры гэтым выкарыстоўваюцца рэчаісныя лікі як гатовае паняцце.

• Аксіяматыка Гільберта
• Геаметрыя Лабачэўскага
• Геаметрыя Рымана
• Неэўклідава геаметрыя
• Аналітычная геаметрыя

• Гильберт Д. Основания геометрии. Архівавана 28 ліпеня 2011. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. — Л.: «Сеятель», 1923. — 152 с. (руск.)
• Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. — М.: Учпедгиз, 1948; Ч. 2. — М.: Учпедгиз, 1951. (руск.)
• Евкли́дова геоме́трия // Математический энциклопедический словарь (руск.) / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 214—215. — 847 с. — 150 000 экз.
• Евкли́дова геоме́трия / Позняк Э. Г. // Т. 9. Евклид — Ибсен. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — С. 5. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров; 1969—1978). (руск.)

• Обухова А. И. История элементарной геометрии (руск.)

Для паляпшэння артыкула пажадана Паставіць зноскі з дакладнейшым указаннем крыніцы. Вікіфікаваць спіс літаратуры Дадаць ілюстрацыі