Рад Ларана

Рад Ларана — двухбаковы бясконцы ступеневы рад па цэлых ступенях ${\displaystyle (z-a)}$ над полем камплексных лікаў:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}(z-a)^{n},}$

дзе ${\displaystyle z,a_{n},a\in \mathbb {C} .}$

Гэты рад з'яўляецца сумай двух радоў:

1. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}}$ — неадмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца правільнай і
2. ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{a_{n}}{(z-a)^{n}}}$ — адмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца галоўнай.

Пры гэтым рад Ларана лічыцца збежным тады і толькі тады, калі сыходзяцца яго правільная і галоўная часткі. Гэтыя рады названы так у гонар французскага матэматыка П. А. Ларана.

• Калі нутро вобласці збежнасці рада Ларана непустое, то яно ўяўляе сабой кругавое кольца

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid r<|z-a|<R<\infty \}}$

• Ва ўсіх пунктах свайго кольца збежнасці ${\displaystyle D}$ рад Ларана сыходзіцца абсалютна;
• Як і для ступеневых радоў, паводзіны рада Ларана ў пунктах межавых акружнасцей кольца збежнасці могуць быць самымі разнастайнымі;
• На любым кампактным падмностве ${\displaystyle K\subset D}$ рад збягаецца раўнамерна;
• Сума рада Ларана ў ${\displaystyle D}$ ёсць аналітычная функцыя ${\displaystyle f(z)}$;
• Рад Ларана можна дыферэнцаваць і інтэграваць у ${\displaystyle D}$ пачленна;
• Раскладанне ў рад Ларана адзінае, гэта значыць калі сумы двух радоў Ларана супадаюць у ${\displaystyle D}$, то супадаюць і ўсе каэфіцыенты гэтых радоў.
• Каэфіцыенты ${\displaystyle a_{n}}$ рада Ларана вызначаюцца праз яго суму ${\displaystyle f(z)}$ формуламі

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}}},}$

дзе ${\displaystyle \gamma (t)=a+\rho e^{it}}$, ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$, ${\displaystyle r<\rho <R}$ — любая акружнасць з цэнтрам a, размешчаная ўсярэдзіне кольца збежнасці.

Прымяненне радоў Ларана заснавана галоўным чынам на наступнай тэарэме Ларана:

Любую адназначную аналітычную функцыю ${\displaystyle f(z)}$ у колцы ${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :r<|z-a|<R<\infty \}}$ можна прадставіць у ${\displaystyle D}$ збежным радам Ларана.

У тым ліку, у праколатым наваколлі

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :0<|z-a|<R<\infty \}}$

ізаляванага асаблівага пункта ${\displaystyle a}$ адназначная аналітычная функцыя ${\displaystyle f(z)}$ прадстаўляецца радам Ларана, які служыць асноўным інструментам даследавання яе паводзін у наваколлі ізаляванага асаблівага пункта.

Тып асаблівага пункта вызначаецца галоўнай часткай рада Ларана ў праколатым наваколлі гэтага пункта:

• Скасавальны асаблівы пункт — галоўная частка рада Ларана роўная 0.
• Полюс — галоўная частка змяшчае канечны лік ненулявых членаў.
• Істотна асаблівы пункт — галоўная частка змяшчае бясконцую колькасць ненулявых членаў.

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.