Distribució discreta de Weibull

Distribució discreta de Weibull

Paràmetres	${\displaystyle \alpha >0}$ escala ${\displaystyle \beta >0}$ forma
Suport	${\displaystyle x\in \{0,1,2,\ldots \}}$
fpm	${\displaystyle \exp \left[-\left({\frac {x}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]}$
FD	${\displaystyle 1-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]}$

En la teoria de probabilitat i estadística, la distribució discreta de Weibull és la variant discreta de la distribució de Weibull. Va ser descrit per primera vegada per Nakagawa i Osaki el 1975.

En el document original de Nakagawa i Osaki es va utilitzar la parametrització ${\displaystyle q=e^{-\alpha ^{-\beta }}}$ convertint el cmf ${\displaystyle 1-q^{(x+1)^{\beta }}}$ en ${\displaystyle q\in (0,1)}$. Fent ${\displaystyle \beta =1}$ fa aparent la relació amb la distribució geomètrica.^[1]

La distribució contínua de Weibull té una estreta relació amb la distribució de Gumbel que és fàcil de veure quan es torna a convertir la variable. Es pot fer una transformació similar amb la distribució discreta de Weibull.

Definim ${\displaystyle e^{Y}-1=X}$ on (de forma no convencional) ${\displaystyle Y=\log(X+1)\in \{\log(1),\log(2),\ldots \}}$ i definim els paràmetres ${\displaystyle \mu =\log(\alpha )}$ i ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\beta }}}$. Per substitució de ${\displaystyle x}$ al cmf:

${\displaystyle \Pr(X\leq x)=\Pr(X\leq e^{y}-1).}$

Veiem que obtenim una parametrització d'escala local:

${\displaystyle =1-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]=1-\exp \left[-\left({\frac {e^{y}}{e^{\mu }}}\right)^{\frac {1}{\sigma }}\right]=1-\exp \left[-\exp \left[{\frac {y-\mu }{\sigma }}\right]\right]}$

que en la configuració d'estimacions té molt sentit. Això obre la possibilitat de regressió amb marcs desenvolupats per a la regressió de Weibull i la teoria de valor extrem.^[2]

• Distribució de Weibull
• Distribució geomètrica
• Distribució q-Weibull