Espace vectoriel de dimension finie

Sur un corps K, un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une base finie. Il suffit pour cela qu'il admette une famille génératrice finie^[1].

Les espaces de dimension finie jouissent de propriétés qui leur sont propres. Les bases duales en sont des exemples.

Tout espace vectoriel E admet une base — c'est-à-dire une famille libre et génératrice — et deux bases quelconques de E ont même cardinalité, appelée la dimension de E. Les articles « Théorème de la base incomplète » et « Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels » présentent, pour chacun de ces deux résultats, une démonstration générale et une démonstration spécifique au cas où E est engendré par un nombre fini n de vecteurs : on peut alors former une base de E en prélevant certains de ces n vecteurs, et le lemme de Steinitz garantit que le nombre de vecteurs de toute famille libre est majoré par celui de toute famille génératrice.

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Exemples d'espaces vectoriels

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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