イェンセンの不等式

イェンセンの不等式（いぇんせんのふとうしき、英語: Jensen's inequality）は、凸関数を使った不等式である。

f(x) を実数上の凸関数とする。

離散の場合：

${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\,\ldots }$ を、${\displaystyle p_{1}+p_{2}+\cdots =1}$ を満たす正の実数の列とする。また、${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots }$ を、実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}f(x_{i})\geq f\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}\right)}$

連続値の場合：

${\displaystyle p(x)(>0)}$ を、${\displaystyle \int p(x)dx=1}$ を満たす実数上の可積分関数とする。また、${\displaystyle y(x)}$ を実数上の可積分関数とする。そのとき、次が成り立つ。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y(x))p(x)dx\geq f\left(\int _{-\infty }^{\infty }y(x)p(x)dx\right)}$

ルベーグ積分論の観点では、 離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。

証明は、f の${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y(x)p(x)dx}$における接線を g とおいて、常に g(x) が f(x) よりも小さいことを使えばよい。

統計学において、式の下限を評価する際に、一定の役割を担っている。例えば、カルバック・ライブラー・ダイバージェンスが常に 0 より大きいことを証明するときに用いられる。p(x) が確率密度関数の場合を考えると、イェンセンの不等式は次のように書ける。

${\displaystyle E[f(y)]\geq f(E[y])}$

なお、イェンセンの不等式から、相加相乗平均の関係式などを導くこともできる。

• David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8 
• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768-71.
• Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1 

• ヨハン・イェンセン

• 『イェンゼンの不等式の３通りの証明』 - 高校数学の美しい物語