エクイティプレミアムパズル （英 : equity premium puzzle ）とは、実際に観測される株式 のリスクプレミアム が経済学 で標準的に用いられているモデルでは説明できないほど大きいという問題である。Rajnish Mehra （英語版 ） エドワード・プレスコット により1985年 に発表された[ 1] 2015年 現在、いまだに統一的な説明が得られていないマクロ経済学 と金融経済学 における重要な未解決問題の一つである。
株式のリスクプレミアム とは株式の期待収益率から無リスク金利 （国債 等の無リスク資産 の金利 ）を引いたものである。1889年 から1978年 にかけての米国 株式のリスクプレミアムの平均は6.18%であるが、この値を経済学で標準的な時間について加法分離的な相対的リスク回避度一定(CRRA)型効用関数 を用いたモデルで説明しようとすると、著しく高い相対的リスク回避度 [ 2] [ 3]
エクイティプレミアムパズルは米国のみならず、世界各国で見られる現象であることが知られている[ 4]
など多数の経済学におけるモデルで採用されていることから非常に重要な問題である。
ここではMehra and Prescott & (2003) における説明を述べる。Mehra and Prescott & (2003) ではルーカス 型資産価格モデル[ 6] 完全市場 の下で、消費者は単一の代表的個人で表され、消費者の効用関数は時間について加法分離的であり、さらにその効用関数は相対的リスク回避度が一定であるCRRA型効用関数であるとする。また市場では単一の株式とゼロ・クーポン債券のみが取引されているとする。この時、消費者は次の期待効用 最大化問題を解く。
max
c
E
0
[
∑
t
=
0
∞
β
t
u
(
c
t
)
]
{\displaystyle \max _{c}E_{0}\left[\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}u(c_{t})\right]}
subject to
c
t
+
p
e
,
t
q
e
,
t
+
p
b
,
t
q
b
,
t
≤
(
p
e
,
t
+
d
e
,
t
)
q
e
,
t
−
1
+
p
b
,
t
q
b
,
t
−
1
{\displaystyle {\mbox{subject to }}c_{t}+p_{e,t}q_{e,t}+p_{b,t}q_{b,t}\leq (p_{e,t}+d_{e,t})q_{e,t-1}+p_{b,t}q_{b,t-1}}
ただし、
c
t
{\displaystyle c_{t}}
t
{\displaystyle t}
q
e
,
t
,
q
b
,
t
{\displaystyle q_{e,t},q_{b,t}}
t
{\displaystyle t}
p
e
,
t
,
p
b
,
t
{\displaystyle p_{e,t},p_{b,t}}
t
{\displaystyle t}
d
e
,
t
{\displaystyle d_{e,t}}
t
{\displaystyle t}
0
<
β
<
1
{\displaystyle 0<\beta <1}
E
0
{\displaystyle E_{0}}
期待値 のオペレーターである。効用関数が時間について加法分離的とは、期待効用関数が各
t
{\displaystyle t}
β
t
u
(
c
t
)
{\displaystyle \beta ^{t}u(c_{t})}
u
{\displaystyle u}
u
(
c
)
=
{
c
1
−
γ
1
−
γ
γ
≠
1
log
(
c
)
γ
=
1
{\displaystyle u(c)={\begin{cases}{\frac {c^{1-\gamma }}{1-\gamma }}&\gamma \neq 1\\\log(c)&\gamma =1\end{cases}}}
となる。ここで
γ
>
0
{\displaystyle \gamma >0}
この時、均衡において次の方程式が成立する。
p
e
,
t
=
E
t
[
β
u
′
(
c
t
+
1
)
u
′
(
c
t
)
(
p
e
,
t
+
1
+
d
e
,
t
+
1
)
]
{\displaystyle p_{e,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}{\Big (}p_{e,t+1}+d_{e,t+1}{\Big )}\right]}
p
b
,
t
=
E
t
[
β
u
′
(
c
t
+
1
)
u
′
(
c
t
)
p
b
,
t
+
1
]
{\displaystyle p_{b,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}p_{b,t+1}\right]}
ただし、
u
′
{\displaystyle u^{\prime }}
u
{\displaystyle u}
微分 であり、
E
t
{\displaystyle E_{t}}
t
{\displaystyle t}
R
e
,
t
+
1
=
p
e
,
t
+
1
+
d
e
,
t
+
1
p
e
,
t
{\displaystyle R_{e,t+1}={\frac {p_{e,t+1}+d_{e,t+1}}{p_{e,t}}}}
R
f
,
t
+
1
=
p
b
,
t
+
1
p
b
,
t
{\displaystyle R_{f,t+1}={\frac {p_{b,t+1}}{p_{b,t}}}}
とし、消費の対数成長率を
x
t
+
1
=
log
(
c
t
+
1
)
−
log
(
c
t
)
{\displaystyle x_{t+1}=\log(c_{t+1})-\log(c_{t})}
x
t
+
1
{\displaystyle x_{t+1}}
正規分布 に従うという仮定の下で次の2式が成立する。
log
R
f
,
t
+
1
=
−
log
β
+
γ
E
[
x
t
+
1
]
−
1
2
γ
2
V
a
r
(
x
t
+
1
)
{\displaystyle \log R_{f,t+1}=-\log \beta +\gamma E[x_{t+1}]-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\mathrm {Var} (x_{t+1})}
log
E
[
R
e
,
t
+
1
]
−
log
R
f
,
t
+
1
=
γ
V
a
r
(
x
t
+
1
)
{\displaystyle \log E[R_{e,t+1}]-\log R_{f,t+1}=\gamma \mathrm {Var} (x_{t+1})}
E
[
x
t
+
1
]
,
V
a
r
(
x
t
+
1
)
{\displaystyle E[x_{t+1}],\mathrm {Var} (x_{t+1})}
β
,
γ
{\displaystyle \beta ,\gamma }
γ
=
10
,
β
=
0.99
{\displaystyle \gamma =10,\beta =0.99}
E
[
R
e
,
t
+
1
]
−
R
f
,
t
+
1
{\displaystyle E[R_{e,t+1}]-R_{f,t+1}}
γ
{\displaystyle \gamma }
先に述べたとおり、相対的リスク回避度が50以上となるのは他の経済学の知見とはまったく整合的ではない。以下で簡単な具体例を挙げる。
Cuthbertson and Nitzsche & (2004) のpp.328-330における例を以下で記述する。CRRA型効用関数を持つ消費者の意思決定を考えてみよう。この消費者の来年の年間所得には不確実性が存在して、確率50%で400万円か600万円であるとする。ここで、z 万円の保険料を支払うことで来年の年間所得を500万円に確定できるものとする。この時、この消費者はいくらまでの保険料を支払うだろうか。
この問題は保険に加入した場合の効用としなかった場合の効用が一致するような保険料以下であれば、この消費者は保険に加入する。数式で表せば、以下を満たすような保険料 z 万円以下ならば、消費者は保険に加入する。
(
500
−
z
)
1
−
γ
1
−
γ
=
1
2
(
400
)
1
−
γ
1
−
γ
+
1
2
(
600
)
1
−
γ
1
−
γ
{\displaystyle {\frac {(500-z)^{1-\gamma }}{1-\gamma }}={\frac {1}{2}}{\frac {(400)^{1-\gamma }}{1-\gamma }}+{\frac {1}{2}}{\frac {(600)^{1-\gamma }}{1-\gamma }}}
この数式の左辺が保険に加入した場合の期待効用で、右辺が加入しなかった場合の期待効用である。また
γ
{\displaystyle \gamma }
z
=
94.3
{\displaystyle z=94.3}
ラムゼー–キャス–クープマンスモデル （英語版 ）
r
{\displaystyle r}
r
=
ρ
+
γ
g
{\displaystyle r=\rho +\gamma g}
となる[ 10]
ρ
{\displaystyle \rho }
g
{\displaystyle g}
γ
{\displaystyle \gamma }
ρ
{\displaystyle \rho }
γ
{\displaystyle \gamma }
Philippe Weilは安全資産 の金利についてもパズルが存在する事を指摘した[ 11] リスクフリーレートパズル （英 : risk-free rate puzzle ）と呼ぶ。
数式による説明 において、安全資産の金利は
log
R
f
,
t
+
1
=
−
log
β
+
γ
E
[
x
t
+
1
]
−
1
2
γ
2
V
a
r
(
x
t
+
1
)
{\displaystyle \log R_{f,t+1}=-\log \beta +\gamma E[x_{t+1}]-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\mathrm {Var} (x_{t+1})}
で決定する事は述べた。ここで消費の対数成長率の分散
V
a
r
(
x
t
+
1
)
{\displaystyle \mathrm {Var} (x_{t+1})}
[ 12]
γ
E
[
x
t
+
1
]
{\displaystyle \gamma E[x_{t+1}]}
−
log
β
{\displaystyle -\log \beta }
β
{\displaystyle \beta }
[ 4]
仮にエクイティプレミアムパズルを説明するような50以上の相対的リスク回避度を想定して、第三項による安全資産の金利を押し下げる効果が大きくなったとする。すると今度は効用の主観的割引率が0.55程度となり、これもまた通常想定される主観的割引率の大きさから逸脱している[ 3]
ラース・ハンセン とラビ・ジャガナサン （英語版 ） [ 13] ハンセン–ジャガナサン境界 （英 : Hansen–Jagannathan bound ）と言う。ハンセン–ジャガナサン境界を使えば、異なる形でエクイティプレミアムパズルを表現することが出来る。
数式による説明 において、株式とゼロ・クーポン債の価格は
p
e
,
t
=
E
t
[
β
u
′
(
c
t
+
1
)
u
′
(
c
t
)
(
p
e
,
t
+
1
+
d
e
,
t
+
1
)
]
{\displaystyle p_{e,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}{\Big (}p_{e,t+1}+d_{e,t+1}{\Big )}\right]}
p
b
,
t
=
E
t
[
β
u
′
(
c
t
+
1
)
u
′
(
c
t
)
p
b
,
t
+
1
]
{\displaystyle p_{b,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}p_{b,t+1}\right]}
で決定する事は述べた。ここで確率的割引ファクター （英 : stochastic discount factor ）
m
t
+
1
=
β
u
′
(
c
t
+
1
)
u
′
(
c
t
)
{\displaystyle m_{t+1}=\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}}
1
=
E
t
[
m
t
+
1
R
e
,
t
+
1
]
{\displaystyle 1=E_{t}\left[m_{t+1}R_{e,t+1}\right]}
1
=
E
t
[
m
t
+
1
]
R
f
,
t
+
1
{\displaystyle 1=E_{t}\left[m_{t+1}\right]R_{f,t+1}}
となる。第1式を変形すると
1
=
E
t
[
m
t
+
1
R
e
,
t
+
1
]
=
E
t
[
m
t
+
1
]
E
t
[
R
e
,
t
+
1
]
+
C
o
v
t
(
m
t
+
1
,
R
e
,
t
+
1
)
{\displaystyle 1=E_{t}\left[m_{t+1}R_{e,t+1}\right]=E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{e,t+1}\right]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})}
=
E
t
[
m
t
+
1
]
E
t
[
R
e
,
t
+
1
]
+
V
a
r
t
(
m
t
+
1
)
V
a
r
t
(
R
e
,
t
+
1
)
C
o
r
r
t
(
m
t
+
1
,
R
e
,
t
+
1
)
{\displaystyle =E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{e,t+1}\right]+{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{e,t+1})}}\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})}
となる。ここで
C
o
r
r
t
(
m
t
+
1
,
R
e
,
t
+
1
)
{\displaystyle \mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})}
m
t
+
1
{\displaystyle m_{t+1}}
R
e
,
t
+
1
{\displaystyle R_{e,t+1}}
相関係数 である。すると相関係数が-1以上1以下であることに注意すれば
|
E
t
[
R
e
,
t
+
1
]
−
R
f
,
t
+
1
V
a
r
t
(
R
e
,
t
+
1
)
|
=
|
C
o
r
r
t
(
m
t
+
1
,
R
e
,
t
+
1
)
|
V
a
r
t
(
m
t
+
1
)
E
t
[
m
t
+
1
]
≤
V
a
r
t
(
m
t
+
1
)
E
t
[
m
t
+
1
]
{\displaystyle {\Big |}{\frac {E_{t}\left[R_{e,t+1}\right]-R_{f,t+1}}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{e,t+1})}}}{\Big |}=|\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})|{\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}\leq {\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}}
となる。この不等式をハンセン–ジャガナサン境界と呼ぶ。
最左辺は株式のシャープ・レシオ の絶対値 なので実際のデータから計算可能である。最右辺はCRRA型効用関数を仮定すれば
m
t
+
1
=
β
(
c
t
+
1
c
t
)
−
γ
{\displaystyle m_{t+1}=\beta \left({\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right)^{-\gamma }}
なので効用の主観的割引率
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
E
t
[
m
t
+
1
]
=
0.96
,
V
a
r
t
(
m
t
+
1
)
=
0.002
{\displaystyle E_{t}[m_{t+1}]=0.96,{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}=0.002}
[ 3]
ハンセン–ジャガナサン境界はこの例における時間について加法分離的なCRRA型効用関数に限らず一般的な資産価格モデルのほぼすべてに適用可能である。
エクイティプレミアムパズルを解決するためにいくつかの代替案や説明がなされている。ここではそれらの代替案について述べる。
リスクベースの説明は効用関数や市場の完備性、意思決定の方法などの消費者の選好や期待に関連した部分を変更することでエクイティプレミアムパズルを説明しようとしている。
習慣形成 （英 : habit formation ）モデルとは、各期の効用がその期の消費以外の変数にも依存するようなモデルである。George Constantinides （英語版 ） [ 14] [ 15] [ 16] [ 3]
エプスタイン–ジン型選好 （英 : Epstein–Zin preference ）とは、Larry EpsteinとStanley E. Zin （英語版 ） 1989年 に提案された、非期待効用 型の効用関数を持つ選好 である[ 17] [ 18]
エプスタイン–ジン型選好はデイヴィッド・クレプス とEvan L. Porteusによって導入された再帰的効用関数[ 19] 英 : elasticity of intertemporal substitution, EIS ）と相対的リスク回避度を異なるパラメーターで決定することが可能となり、時間について加法分離的なCRRA型効用関数より幅広い選好を表現することが出来る。エプスタイン–ジン型選好を用いたエクイティプレミアムパズルの説明としてRavi BansalとAmir Yaronによる長期リスクモデルがある[ 20]
エプスタイン–ジン型選好はBansalとYaronのモデルに限らず応用が可能なため幅広く用いられている。
曖昧さ回避 （英 : ambiguity aversion ）とは確率が未知であるような事象を回避しようとする選好である。Zengjing ChenとLarry Epsteinにより、曖昧さ回避的なマクシミン期待効用関数がエクイティプレミアムパズルの解決策となり得ることが示唆されている[ 21]
レア・ディザスターモデル （英 : rare disaster model ）とは、稀ではあるが大きな負の経済的影響をもたらす事象（自然災害や戦争など）を導入したモデルである。Thomas Rietzにより1988年 にエクイティプレミアムパズルの説明としてレア・ディザスターが導入されたが[ 22] [ 23] ロバート・バロー が2006年 にレア・ディザスターモデルの妥当性を提示したことで[ 24] Xavier Gabaix （英語版 ） [ 25] マクロ経済学 や金融経済学 における多くの問題がレア・ディザスターモデルによって説明できると主張している。
数式による説明 におけるルーカス型資産価格モデルは完備市場 であることを暗に仮定している。例えば代表的個人の仮定も完備市場や実質的に完備な市場[ 26] [ 27]
具体的には各消費者にはそれぞれ異なる労働所得などの不確実性が存在し、その不確実性は金融取引でヘッジできない場合を想定している[ 28] 数式による説明 における効用最大化問題の解として解釈できるので、総消費額ではなく各家計ごとの消費額を用いて資産価格モデルが成立しているかどうかを確認できる。実際に各家計ごとの消費額で資産価格モデルが成立するかどうかを検証すると、比較的妥当な相対的リスク回避度で株式のリスクプレミアムをよく説明できることが確認されている[ 29]
エクイティプレミアムパズルについては新古典派経済学 的なパラダイムから逸脱した行動経済学 的な説明も行われている。例としてShlomo Benartziとリチャード・セイラー による近視眼的損失回避（英 : myopic loss aversion ）効果についての研究がある[ 30] ダニエル・カーネマン とエイモス・トベルスキー によって提唱されたプロスペクト理論 [ 31]
制度的な説明は完全市場 の仮定を緩めることでエクイティプレミアムパズルを説明しようとしている。
George M. Constantinides, John B. Donaldson, Rajnish Mehraは市場の非完備性と借り入れ制約を組み合わせることでエクイティプレミアムパズルの説明を行っている[ 32] 世代重複モデル （英語版 ）
国債の金利が低いのは安全資産には単なる利益を得るための手段としての価値のみがあるのではなく、担保としての価値もあるからだという考え方がある。この考え方に着目してRavi BansalとWilbur John Coleman IIは一部の資産に交換を促進する働きがあると仮定したモデルを構築した上で一般化モーメント法 (GMM)による推定を行い、妥当なリスク回避度の下で低い安全資産の金利と高い株式のリスクプレミアムが説明できることを実証している[ 33]
Ellen R. McGrattanとエドワード・プレスコットは課税や取引の制度の変化によってエクイティプレミアムパズルを説明しようと試みている[ 34]
Abel, Andrew B. (1990), “Asset Prices under Habit Formation and Catching Up with the Joneses” , The American Economic Review: Papers and Proceedings 80 (2): 38-42, JSTOR 2006539 , https://jstor.org/stable/2006539 Bansal, Ravi; Coleman II, Wilbur John (1996), “A Monetary Explanation of the Equity Premium, Term Premium, and Risk-free Rate Puzzles” , Journal of Political Economy 104 (6): 1135-1171, doi :10.1086/262056 , JSTOR 2138936 , https://jstor.org/stable/2138936 Bansal, Ravi; Yaron, Amir (2004), “Risks for the Long Run: A Potential Resolution of Asset Pricing Puzzles” , The Journal of Finance 59 (4): 1481-1509, doi :10.1111/j.1540-6261.2004.00670.x , JSTOR 3694869 , https://jstor.org/stable/3694869 Barro, Robert J. (2006), “Rare Disasters and Asset Markets in the Twentieth Century” , The Quarterly Journal of Economics 121 (3): 823-866, doi :10.1162/qjec.121.3.823 , JSTOR 25098810 , https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/3208215/Barro_RareDisasters.pdf 2015年12月30日閲覧。 Becker, Gary S. ; Barro, Robert J. (1988), “A Reformulation of the Economic Theory of Fertility” , The Quarterly Journal of Economics 103 (1): 1-25, doi :10.2307/1882640 , JSTOR 1882640 , https://jstor.org/stable/1882640 Benartzi, Shlomo; Thaler, Richard H. (1995), “Myopic Loss Aversion and the Equity Premium Puzzle” , The Quarterly Journal of Economics 110 (1): 73-92, doi :10.2307/2118511 , JSTOR 2118511 , https://jstor.org/stable/2118511 Brav, Alon; Constantinides, George M.; Geczy, Christopher C. (2002), “Asset Pricing with Heterogeneous Consumers and Limited Participation: Empirical Evidence” , Journal of Political Economy 110 (4): 793-824, doi :10.1086/340776 , JSTOR 10.1086/340776 , https://jstor.org/stable/10.1086/340776 Campbell, John Y. (2003), “Consumption-based Asset Pricing”, in Constantinides, George M.; Harris, Milton; Stulz, René M., Handbook of the Economics of Finance 1 , Elsevier, pp. 803-887, doi :10.1016/S1574-0102(03)01022-7 , ISBN 9780444513632 Campbell, John Y.; Cochrane, John H. (1999), “By Force of Habit: A Consumption-based Explanation of Aggregate Stock Market Behavior” , Journal of Political Economy 107 (2): 205-251, doi :10.1086/250059 , JSTOR 10.1086/250059 , https://jstor.org/stable/10.1086/250059 Chen, Zengjing; Epstein, Larry G (2002), “Ambiguity, Risk, and Asset Returns in Continuous Time” , Econometrica 70 (4): 1403-1443, doi :10.1111/1468-0262.00337 , JSTOR 3082003 , https://jstor.org/stable/3082003 Constantinides, George M. (1990), “Habit Formation: A Resolution of the Equity Premium Puzzle” , Journal of Political Economy 98 (3): 519-543, doi :10.1086/261693 , JSTOR 2937698 , https://jstor.org/stable/2937698 Constantinides, George M.; Donaldson, John B.; Mehra, Rajnish (2002), “Junior Can't Borrow: A New Perspective on the Equity Premium Puzzle” , The Quarterly Journal of Economics 117 (1): 269-296, doi :10.1162/003355302753399508 , JSTOR 2696488 , https://jstor.org/stable/2696488 Constantinides, George M.; Duffie, Darrell (1996), “Asset Pricing with Heterogeneous Consumers” , Journal of Political Economy 104 (2): 219-240, doi :10.1086/262023 , JSTOR 2138925 , https://jstor.org/stable/2138925 Cox, John C.; Ingersoll, Jr., Jonathan E.; Ross, Stephen A. (1985), “A Theory of the Term Structure of Interest Rates” , Econometrica 53 (2): 385-407, doi :10.2307/1911242 , JSTOR 1911242 , https://jstor.org/stable/1911242 Cuthbertson, Keith; Nitzsche, Dirk (2004), Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange (2 ed.), Wiley, ISBN 0470091711 Epstein, Larry G.; Zin, Stanley E. (1989), “Substitution, Risk Aversion, and the Temporal Behavior of Consumption and Asset Returns: A Theoretical Framework” , Econometrica 57 (4): 937–969, doi :10.2307/1913778 , JSTOR 1913778 , https://jstor.org/stable/1913778 Gabaix, Xabier (2012), “Variable Rare Disasters: An Exactly Solved Framework for Ten Puzzles in Macro-Finance”, The Quarterly Journal of Economics 127 (2): 645-700, doi :10.1093/qje/qjs001 Hansen, Lars P. ; Jagannathan, Ravi (1991), “Implications of Security Market Data for Models of Dynamic Economies” , Journal of Political Economy 99 (2): 225-262, doi :10.1086/261749 , JSTOR 2937680 , https://jstor.org/stable/2937680 Kahneman, Daniel ; Tversky, Amos (1979), “Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk” , Econometrica 47 (2): 263-292, doi :10.2307/1914185 , JSTOR 1914185 , https://jstor.org/stable/1914185 Kreps, David M. ; Porteus, Evan L. (1978), “Temporal Resolution of Uncertainty and Dynamic Choice Theory” , Econometrica 46 (1): 185-200, doi :10.2307/1913656 , JSTOR 1913656 , https://jstor.org/stable/1913656 Kydland, Finn E. ; Prescott, Edward C. (1982), “Time to Build and Aggregate Fluctuations” , Econometrica 50 (6): 1345-1370, doi :10.2307/1913386 , JSTOR 1913386 , https://jstor.org/stable/1913386 Lucas, Jr., Robert E. (1978), “Asset Prices in an Exchange Economy” , Econometrica 46 (6): 1429-1445, doi :10.2307/1913837 , JSTOR 1913837 , https://jstor.org/stable/1913837 Lucas, Jr., Robert E (2003), “Macroeconomic Priorities” , The American Economic Review 93 (1): 1–14, doi :10.1257/000282803321455133 , JSTOR 3132159 , https://jstor.org/stable/3132159 McGrattan, Ellen R.; Prescott, Edward C. (2003), “Average Debt and Equity Returns: Puzzling?” , The American Economic Review: Papers and Proceedings 93 (2): 392-397, doi :10.1257/000282803321947407 , JSTOR 3132260 , https://jstor.org/stable/3132260 Mehra, Ranjish (2008), “The Equity Premium Puzzle: A Review” , Foundations and Trends in Finance 2 (1): 1–81, doi :10.1561/0500000006 , http://www.academicwebpages.com/preview/mehra/pdf/FIN%200201.pdf 2015年12月30日閲覧。 Mehra, Rajnish; Prescott, Edward C. (1985), “The Equity Premium: A Puzzle”, Journal of Monetory Economics 15 (2): 145-161, doi :10.1016/0304-3932(85)90061-3 Mehra, Rajnish; Prescott, Edward C. (1988), “The Equity Risk Premium: A Solution?”, Journal of Monetory Economics 22 (1): 133-136, doi :10.1016/0304-3932(88)90173-0 Mehra, Rajnish; Prescott, Edward C. (2003), “The Equity Premium in Retrospect”, in Constantinides, George M.; Harris, Milton; Stulz, René M., Handbook of the Economics of Finance 1 , Elsevier, pp. 889-938, doi :10.1016/S1574-0102(03)01023-9 , ISBN 9780444513632 Merton, Robert. C. (1971), “Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-time Model”, Journal of Economic Theory 3 (4): 373–413, doi :10.1016/0022-0531(71)90038-X Rietz, Thomas A. (1988), “The Equity Risk Premium A Solution”, Journal of Monetary Economics 22 (1): 117–131, doi :10.1016/0304-3932(88)90172-9 Weil, Philippe (1989), “The Equity Premium Puzzle and the Risk-free Rate Puzzle”, Journal of Monetory Economics 24 (3): 401-421, doi :10.1016/0304-3932(89)90028-7 Weil, Philippe (1990), “Nonexpected Utility in Macroeconomics” , The Quarterly Journal of Economics 105 (1): 29-42, doi :10.2307/2937817 , JSTOR 2937817 , https://jstor.org/stable/2937817
![{\displaystyle \max _{c}E_{0}\left[\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}u(c_{t})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1da3c52f1939f9e2b8d30d01b7425058b6a419)
![{\displaystyle p_{e,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}{\Big (}p_{e,t+1}+d_{e,t+1}{\Big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d855d596992b5f4664730acecd4d6d173ef96d7c)
![{\displaystyle p_{b,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}p_{b,t+1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3debdcdaec471f15802dcb9cf4d6b50fc7156410)
![{\displaystyle \log R_{f,t+1}=-\log \beta +\gamma E[x_{t+1}]-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\mathrm {Var} (x_{t+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c191cfb9804f6d91334f467d42fbe39f598357a)
![{\displaystyle \log E[R_{e,t+1}]-\log R_{f,t+1}=\gamma \mathrm {Var} (x_{t+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd59306c8a2c62a8593b4e72060fa0f02c60ca3)
![{\displaystyle E[x_{t+1}],\mathrm {Var} (x_{t+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5477cf2bee4018a591d35a1f0e59ccd59998b78)
![{\displaystyle E[R_{e,t+1}]-R_{f,t+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e3bcd8423d05f7af48956f535fa0fc8dc32c9d)
![{\displaystyle \gamma E[x_{t+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc012021dcabfc675df08b401c4871c3a909e9b0)
![{\displaystyle 1=E_{t}\left[m_{t+1}R_{e,t+1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619d8b1c57a70660bfae67b18685490ffd4b3622)
![{\displaystyle 1=E_{t}\left[m_{t+1}\right]R_{f,t+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d8c191aa0d063a21f72f969a401e00ec69dd71)
![{\displaystyle 1=E_{t}\left[m_{t+1}R_{e,t+1}\right]=E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{e,t+1}\right]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf04fd02309c9cfa77c904fef87d7c88b054d985)
![{\displaystyle =E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{e,t+1}\right]+{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{e,t+1})}}\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec624ad9ffceab60fc0094f2caafba78382f5b9)
![{\displaystyle {\Big |}{\frac {E_{t}\left[R_{e,t+1}\right]-R_{f,t+1}}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{e,t+1})}}}{\Big |}=|\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{e,t+1})|{\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}\leq {\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aff4e125a1c20180b52d0198b216cdc40bc66be)
![{\displaystyle E_{t}[m_{t+1}]=0.96,{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}=0.002}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e08dd5b5073d4cf3fafa347b955da4668b67b99)
