カタランの立体

カタランの立体 (Catalan solid) は、半正多面体（アルキメデスの立体）の双対である。アルキメデス双対 (Archimedean dual) とも言う。カタランの立体は13種類存在しており、この数は半正多面体と一致する。^[1]

任意の半正多面体に対しen:Dorman Luke constructionを用いることで、その双対となるカタランの立体を得ることができる。 ^[2]

カタランの立体のいくつかは、ヨハネス・ケプラー (Johannes Kepler) がゾーン多面体の研究の際に発見し、その後1865年にベルギーの数学者ウジェーヌ・カタラン (Eugène Charles Catalan) が13種類の立体を洗い出した。

双対であることから、カタランの立体の面は半正多面体の頂点に、カタランの立体の頂点は半正多面体の面に対応しており^[3]、多くの性質は半正多面体と対をなしている。

半正多面体は頂点形状が合同であるため、カタランの立体は面が合同である。逆に半正多面体は2種類以上の面を持つため、カタランの立体の頂点形状は合同ではない。すなわち一様多面体ではない。

半正多面体の辺の長さが等しいことより、カタランの立体は全ての二面角が等しい。

半正多面体同様、2種類はカイラルで、鏡像の区別がある。

半正多面体が外接球面を持つ一方、カタランの立体は内接球面を持つ。

準正多面体 (quasi-regular polyhedron) の双対にあたる菱形十二面体と菱形三十面体の2つは、元の立体と同様に辺の近傍が合同である。^[要出典]

13種類のカタランの立体のうち少なくとも11種類はルパート特性 (Rupert property) を持ち、それ自身のコピーが通り抜けられるような穴を空けることができる。^[4]

名前	投影図	動画	双対	面 数	辺 数	頂 点 数	面の形状	対称性
三方四面体			切頂四面体	12	18	8	二等辺三角形 V3.6.6	Td
菱形十二面体			立方八面体	12	24	14	菱形 V3.4.3.4	Oh
三方八面体			切頂六面体	24	36	14	二等辺三角形 V3.8.8	Oh
四方六面体			切頂八面体	24	36	14	二等辺三角形 V4.6.6	Oh
凧形二十四面体			斜方立方八面体	24	48	26	凧形 V3.4.4.4	Oh
六方八面体			斜方切頂立方八面体	48	72	26	三角形 V4.6.8	Oh
五角二十四面体			変形立方体	24	60	38	2辺と3辺が等しい五角形 V3.3.3.3.4	O
菱形三十面体			二十・十二面体	30	60	32	菱形 V3.5.3.5	Ih
三方二十面体			切頂十二面体	60	90	32	二等辺三角形 V3.10.10	Ih
五方十二面体			切頂二十面体	60	90	32	二等辺三角形 V5.6.6	Ih
凧形六十面体			斜方二十・十二面体	60	120	62	凧形 V3.4.5.4	Ih
六方二十面体			斜方切頂二十・十二面体	120	180	62	三角形 V4.6.10	Ih
五角六十面体			変形十二面体	60	150	92	2辺と3辺が等しい五角形 V3.3.3.3.5	I

表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド（英語版） 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形