ジョンソンの立体

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ジョンソンの立体（ジョンソンのりったい、Johnson solid）、またはザルガラーの多面体（ザルガラーのためんたい、Zalgaller polyhedron）とは、整面凸多面体（せいめんとつためんたい、regular-faced convex polyhedron）のうち、正多面体、半正多面体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱以外のもの。

整面凸多面体とは、全ての面が正多角形で全ての辺の長さが等しい凸多面体である。なお、「ザルガラーの多面体」は整面凸多面体の意味で使うこともある。

ジョンソンの立体は全部で92種類ある。正多面体以外のデルタ多面体、ミラーの立体も含む。

正多面体・半正多面体のリストアップは比較的簡単だが、ジョンソンの立体のリストアップは簡単ではない。1966年、アメリカの数学者ノーマン・ジョンソン(Norman Johnson)が全92種を記した一覧表を発表し、それぞれに番号と名前を与えたが、これで全てだとの証明はされなかった。3年後の1969年、ヴィクター・アブラモヴィッチ・ザルガラー(Victor Abramovich Zalgaller)がコンピュータを駆使して、この一覧表が完全であることを証明した。

面の種類は、1種類のもの（5種のデルタ多面体のみ）と複数種類のものとがある。

面の種類は、正三角形、正方形、正五角形、正六角形、正八角形、正十角形の6種類のみである。この性質は半正多面体にも共通する。これらの面は、正多面体が持つ3種類の面と、それらの辺の数を倍にしたものである。

正六角形、正八角形、正十角形の中では、最大1種類しか使われない。また、正 2n 角形（n ≥ 3）が使われているときは、正 n 角形も使われている。これらの性質は、半正多面体では成り立たない。

対称性はCyclicかDihedralである。これらは、正多面体や半正多面体のTetrahedralやOctahedralやIcosahedralより低い対称性であり、たとえば回転対称性については1本 (Cyclic) か2本 (Dihedral) しか軸を持たない。なお、アルキメデスの角柱やアルキメデスの反角柱の対称性はDihedralである。^{[疑問点 – ノート]}

番号と英語の名称はジョンソンによる。日本語訳にはいくらか揺れがあるので注意されたい。n 番目のジョンソンの立体を J_n と書く。

• 1-6（6種）: 角錐、台塔、丸塔
• 7-17（11種）: 角錐柱、角錐反柱、双角錐
• 18-48（31種）: 台塔と丸塔の変形
• 49-57（9種）: 側錐角柱
• 58-64（7種）: 正多面体の変形
• 65-83（19種）: 半正多面体の変形
• 84-92（9種）: その他

対称性はシェーンフリース記号で書かれている。ほかの記号法についてはList of spherical symmetry groups（3次元点群の一覧）に詳しい。

Jn	名称	展開図	投影図	頂 点	辺	面	正 n 角形面						対 称 性	その他の 性質
							3	4	5	6	8	10
1	正四角錐 (square pyramid)			5	8	5	4	1					C4v
2	正五角錐 (pentagonal pyramid)			6	10	6	5		1				C5v
3	正三角台塔 (triangular cupola)			9	15	8	4	3		1			C3v
4	正四角台塔 (square cupola)			12	20	10	4	5			1		C4v
5	正五角台塔 (pentagonal cupola)			15	25	12	5	5	1			1	C5v
6	正五角丸塔 (pentagonal rotunda)			20	35	17	10		6			1	C5v
7	正三角錐柱 (elongated triangular pyramid)			7	12	7	4	3					C3v
8	正四角錐柱 (elongated square pyramid)			9	16	9	4	5					C4v
9	正五角錐柱 (elongated pentagonal pyramid)			11	20	11	5	5	1				C5v
10	正四角錐反柱 (gyroelongated square pyramid)			9	20	13	12	1					C4v
11	正五角錐反柱 (gyroelongated pentagonal pyramid)			11	25	16	15		1				C5v
12	双三角錐 (triangular dipyramid) デルタ六面体			5	9	6	6						D3h	デルタ 多面体
13	双五角錐 (pentagonal dipyramid) デルタ十面体			7	15	10	10						D5h	デルタ 多面体
14	双三角錐柱 (elongated triangular dipyramid)			8	15	9	6	3					D3h
15	双四角錐柱 (elongated square dipyramid)			10	20	12	8	4					D4h
16	双五角錐柱 (elongated pentagonal dipyramid)			12	25	15	10	5					D5h
17	双四角錐反柱 (gyroelongated square dipyramid) デルタ十六面体			10	24	16	16						D4d	デルタ 多面体
18	正三角台塔柱 (elongated triangular cupola)			15	27	14	4	9		1			C3v
19	正四角台塔柱 (elongated square cupola)			20	36	18	4	13			1		C4v
20	正五角台塔柱 (elongated pentagonal cupola)			25	45	22	5	15	1			1	C5v
21	正五角丸塔柱 (elongated pentagonal rotunda)			30	55	27	10	10	6			1	C5v
22	正三角台塔反柱 (gyroelongated triangular cupola)			15	33	20	16	3		1			C3v
23	正四角台塔反柱 (gyroelongated square cupola)			20	44	26	20	5			1		C4v
24	正五角台塔反柱 (gyroelongated pentagonal cupola)			25	55	32	25	5	1			1	C5v
25	正五角丸塔反柱 (gyroelongated pentagonal rotunda)			30	65	37	30		6			1	C5v
26	異相双三角柱 (gyrobifastigium) 双側正三角柱			8	14	8	4	4					D2d
27	同相双三角台塔 (triangular orthobicupola)			12	24	14	8	6					D3h
28	同相双四角台塔 (square orthobicupola)			16	32	18	8	10					D4h
29	異相双四角台塔 (square gyrobicupola)			16	32	18	8	10					D4d
30	同相双五角台塔 (pentagonal orthobicupola)			20	40	22	10	10	2				D5h
31	異相双五角台塔 (pentagonal gyrobicupola)			20	40	22	10	10	2				D5d
32	同相五角台塔丸塔 (pentagonal orthocupolarotunda)			25	50	27	15	5	7				C5v
33	異相五角台塔丸塔 (pentagonal gyrocupolarotunda)			25	50	27	15	5	7				C5v
34	同相双五角丸塔 (pentagonal orthobirotunda)			30	60	32	20		12				D5h
35	同相双三角台塔柱 (elongated triangular orthobicupola)			18	36	20	8	12					D3h
36	異相双三角台塔柱 (elongated triangular gyrobicupola)			18	36	20	8	12					D3d
37	異相双四角台塔柱 (elongated square gyrobicupola) ミラーの立体			24	48	26	8	18					D4d	全ての 頂点形状 が合同
38	同相双五角台塔柱 (elongated pentagonal orthobicupola)			30	60	32	10	20	2				D5h
39	異相双五角台塔柱 (elongated pentagonal gyrobicupola)			30	60	32	10	20	2				D5d
40	同相五角台塔丸塔柱 (elongated pentagonal orthocupolarotunda)			35	70	37	15	15	7				C5v
41	異相五角台塔丸塔柱 (elongated pentagonal gyrocupolarotunda)			35	70	37	15	15	7				C5v
42	同相双五角丸塔柱 (elongated pentagonal orthobirotunda)			40	80	42	20	10	12				D5h
43	異相双五角丸塔柱 (elongated pentagonal gyrobirotunda)			40	80	42	20	10	12				D5d
44	双三角台塔反柱 (gyroelongated triangular bicupola)			18	42	26	20	6					D3	キラル
45	双四角台塔反柱 (gyroelongated square bicupola)			24	56	34	24	10					D4	キラル
46	双五角台塔反柱 (gyroelongated pentagonal bicupola)			30	70	42	30	10	2				D5	キラル
47	五角台塔丸塔反柱 (gyroelongated pentagonal cupolarotunda)			35	80	47	35	5	7				C5	キラル
48	双五角丸塔反柱 (gyroelongated pentagonal birotunda)			40	90	52	40		12				D5	キラル
49	側錐三角柱 (augmented triangular prism)			7	13	8	6	2					C2v
50	二側錐三角柱 (biaugmented triangular prism)			8	17	11	10	1					C2v
51	三側錐三角柱 (triaugmented triangular prism) デルタ十四面体			9	21	14	14						D3h	デルタ 多面体
52	側錐五角柱 (augmented pentagonal prism)			11	19	10	4	4	2				C2v
53	二側錐五角柱 (biaugmented pentagonal prism)			12	23	13	8	3	2				C2v
54	側錐六角柱 (augmented hexagonal prism)			13	22	11	4	5		2			C2v
55	双側錐六角柱 (parabiaugmented hexagonal prism)			14	26	14	8	4		2			D2h
56	二側錐六角柱 (metabiaugmented hexagonal prism)			14	26	14	8	4		2			C2v
57	三側錐六角柱 (triaugmented hexagonal prism)			15	30	17	12	3		2			D3h
58	側錐十二面体 (augmented dodecahedron)			21	35	16	5		11				C5v
59	双側錐十二面体 (parabiaugmented dodecahedron)			22	40	20	10		10				D5d
60	二側錐十二面体 (metabiaugmented dodecahedron)			22	40	20	10		10				C2v
61	三側錐十二面体 (triaugmented dodecahedron)			23	45	24	15		9				C3v
62	二側錐欠損二十面体 (metabidiminished icosahedron)			10	20	12	10		2				C2v
63	三側錐欠損二十面体 (tridiminished icosahedron)			9	15	8	5		3				C3v
64	側錐三側錐欠損二十面体 (augmented tridiminished icosahedron)			10	18	10	7		3				C3v
65	側台塔切頂四面体 (augmented truncated tetrahedron)			15	27	14	8	3		3			C3v
66	側台塔切頂立方体 (augmented truncated cube)			28	48	22	12	5			5		C4v
67	双側台塔切頂立方体 (biaugmented truncated cube)			32	60	30	16	10			4		D4h
68	側台塔切頂十二面体 (augmented truncated dodecahedron)			65	105	42	25	5	1			11	C5v
69	双側台塔切頂十二面体 (parabiaugmented truncated dodecahedron)			70	120	52	30	10	2			10	D5d
70	二側台塔切頂十二面体 (metabiaugmented truncated dodecahedron)			70	120	52	30	10	2			10	C2v
71	三側台塔切頂十二面体 (triaugmented truncated dodecahedron)			75	135	62	35	15	3			9	C3v
72	側台塔回転斜方二十・十二面体 (gyrate rhombicosidodecahedron)			60	120	62	20	30	12				C5v
73	双側台塔回転斜方二十・十二面体 (parabigyrate rhombicosidodecahedron)			60	120	62	20	30	12				D5d
74	二側台塔回転斜方二十・十二面体 (metabigyrate rhombicosidodecahedron)			60	120	62	20	30	12				C2v
75	三側台塔回転斜方二十・十二面体 (trigyrate rhombicosidodecahedron)			60	120	62	20	30	12				C3v
76	側台塔欠損斜方二十・十二面体 (diminished rhombicosidodecahedron)			55	105	52	15	25	11			1	C5v
77	双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 (paragyrate diminished rhombicosidodecahedron)			55	105	52	15	25	11			1	C5v
78	二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 (metagyrate diminished rhombicosidodecahedron)			55	105	52	15	25	11			1	Cs
79	二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 (bigyrate diminished rhombicosidodecahedron)			55	105	52	15	25	11			1	Cs
80	双側台塔欠損斜方二十・十二面体 (parabidiminished rhombicosidodecahedron)			50	90	42	10	20	10			2	D5d
81	二側台塔欠損斜方二十・十二面体 (metabidiminished rhombicosidodecahedron)			50	90	42	10	20	10			2	C2v
82	側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 (gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron)			50	90	42	10	20	10			2	Cs
83	三側台塔欠損斜方二十・十二面体 (tridiminished rhombicosidodecahedron)			45	75	32	5	15	9			3	C3v
84	変形双五角錐 (snub disphenoid) デルタ十二面体			8	18	12	12						D2d	デルタ 多面体
85	変形四角反柱 (snub square antiprism)			16	40	26	24	2					D4d
86	球形屋根 (sphenocorona)			10	22	14	12	2					C2v
87	側錐球形屋根 (augmented sphenocorona)			11	26	17	16	1					Cs
88	長球形屋根 (sphenomegacorona)			12	28	18	16	2					C2v
89	広底長球形屋根 (hebesphenomegacorona)			14	33	21	18	3					C2v
90	五角錐球形屋根 (disphenocingulum)			16	38	24	20	4					D2d
91	双三日月双丸塔 (bilunabirotunda)			14	26	14	8	2	4				D2h
92	三角広底球形屋根丸塔 (triangular hebesphenorotunda)			18	36	20	13	3	3	1			C3v

• 小林光夫, 鈴木卓治, 「正多角形を面にもつすべての凸多面体の頂点座標の計算」, 電気通信大学紀要, Vol.5 (No.2), 147-184 (1992). https://uec.repo.nii.ac.jp/records/8171

• 正多面体、準正多面体、ザルガラー多面体、mxico
  • ザルガラー多面体の名前 - 小林・鈴木による日本語訳を掲載している。
• ジョンソン立体の分類
• 立体２（☆ザルガラー多面体のところ） - 番号に前後あり。
• Weisstein, Eric W. “Johnson Solid”. mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド（英語版） 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形