ある瞬間におけるガウシアンビームの強度分布。 出力 5 mW の緑色レーザーポインタの強度分布。TEM00 モードの分布を示している。 光学 において、 ガウシアンビーム （英 : Gaussian beam 横モード （英語版 ） 電場 および強度（放射照度 ）分布が近似的にガウス分布 とみなせる電磁波 をいう。多くのレーザー はその光軸 への垂直面内の強度分布がガウス分布に近いビームを発しており、このようなレーザーでは共振器 が基本横モード、または「TEM00 モード」で発振しているという。回折限界 のレンズ で屈折 させたとき、ガウシアンビームは別の（パラメータの違う）ガウシアンビームへと変換されるため数学的に取り扱いやすく、レーザー光学における数理モデル として広く採用されている。
ガウシアンビームがヘルムホルツ方程式 の近軸近似 の下での解であることは数学的に示すことができる。この解はガウス関数 の形をとっており、ビームの電場の複素 振幅を表わす。この形のビームの大きな特質として、電場と磁場 が電磁波 として一体となり伝播するため、電場と磁場のどちらか片方のみによってビームの特徴を記述できることが挙げられる。
ガウシアンビームが伝播するときの特徴は、スポットサイズと曲率半径、グイ位相というわずかなパラメータで記述できる。
近軸近似の下でのヘルムホルツ方程式には別の解も存在する。デカルト座標 を用いて方程式を解くと、エルミート・ガウシアンモード と呼ばれる一連の解が得られ、円筒座標系 を用いて解くとラゲール・ガウシアンモード と呼ばれる一連の解が得られる。どちらの解に対しても、最低次の解はガウシアンビームを表わし、高次の解は共振器の高次の横モードに対応する。
上図は紙面に垂直に伝播するガウシアンビームの二次元的照度分布を表わす。下図青線はビーム中心からの距離の関数としての電場強度を表わす。また、黒線は対応する照度関数を表わす。
ガウシアンビームはTEMモード （英語版 ） 近軸ヘルムホルツ方程式 を解くことで得られ、以下のような表式を得る。
E
(
r
,
z
)
=
E
0
w
0
w
(
z
)
exp
(
−
r
2
w
(
z
)
2
−
i
k
z
−
i
k
r
2
2
R
(
z
)
+
i
ζ
(
z
)
)
{\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)}
ここに、変数は以下のように定義する。
r はビームの中心軸からの距離z はビーム径の最も収束している点（ビームウェスト）からの中心軸方向の距離i は虚数単位 (i 2 = -1k = 2π /λ 波数 （単位はラジアン毎メートル）E 0 = |E (0,0)|w (z )e および 1/e 2 になる半径）w 0 = w (0)R (z )波面 の曲率半径 ζ (z )グイ位相 シフト厳密には時間依存因子 e iωt
対応する時間平均強度分布は以下のように表わされる。
I
(
r
,
z
)
=
|
E
(
r
,
z
)
|
2
2
η
=
I
0
(
w
0
w
(
z
)
)
2
exp
(
−
2
r
2
w
2
(
z
)
)
{\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)}
ここで I 0 = I (0,0)η はビームの伝播している媒質の特性インピーダンスである。自由空間においては、 η = η 0 = √ μ 0 /ε 0 c ε 0 ) ≈ 376.7 Ω
ガウシアンビームのふるまいと形状は以下にしめす一連のビームパラメータ により記述される。
自由空間を伝播するガウシアンビームにおいては、スポットサイズ（半径） w (z )ビームウェスト とよばれる光軸上のある点で最小値 w 0 λ のビームの、ビームウェストから光軸にそって距離 z の点におけるスポットサイズは以下のように与えられる。
w
(
z
)
=
w
0
1
+
(
z
z
R
)
2
{\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}}
ここで z -軸の原点はビームウェストと一致するようにとることとし、
z
R
=
π
w
0
2
λ
{\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}
はレイリー範囲 と呼ばれる量である。
ビームウェストからレイリー範囲 z R w は以下のように与えられる。
w
(
±
z
R
)
=
2
w
0
{\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })={\sqrt {2}}w_{0}}
この二つの点の間の距離は「共焦点パラメータ」もしくはビームの「焦点深度」と呼ばれる。
b
=
2
z
R
=
2
π
w
0
2
λ
{\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}
R (z )曲率半径 （英語版 ）
R
(
z
)
=
z
[
1
+
(
z
R
z
)
2
]
{\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]}
パラメータ w (z )z ≫ z R z に比例するものと見なせる。このことは、ビームウェストから離れればビームは円錐 形とみなせることを意味する。直線 r = w (z )r = 0
θ
≃
λ
π
w
0
{\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}}
ここで、θ の単位はラジアンである。
ビームウェストから遠いときのビームの拡がり角は以下のように与えられる。
Θ
=
2
θ
{\displaystyle \Theta =2\theta }
発散角はビームウェストサイズ w 0 回折 に起因する。非ガウシアンビームでもこの効果はみられるが、ガウシアンビームはビーム幅と発散角との積が可能な限り小さい特殊例である。
ガウシアンビームモデルは近軸近似に基いているため、波面がおよそ 30°以上傾いた場合には適用できなくなる。上の発散角についての式より、ガウシアンビームモデルが 2λ /π より大きなビームウェストサイズを持つときのみに適用できることになる。
レーザービームの品質 （英語版 ） w 0 M 2 M 2 M 2
ガウシアンビームの開口数 は NA = n sinθ で定義される。ここで、 n はビームの伝播する媒質の屈折率 である。この定義式より、レイリー散乱は開口数により次の式で表わすことができることが導かれる。
z
R
=
w
0
/
N
A
{\displaystyle z_{\mathrm {R} }=w_{0}/\mathrm {NA} }
光軸上の「縦位相の遅れ」、もしくはグイ位相シフトは以下のように表わされる。
ζ
(
z
)
=
arctan
(
z
z
R
)
{\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}
グイ位相シフトはガウシアンビームがビームウェストから離れた片側からもう片側に伝播するとき、平面波と同じ通常の位相シフト e ikz π だけ位相がずれることを示している。
ガウシアンビームのスポットサイズと曲率半径についての情報を次の一つの複素ビームパラメータ q (z )
q
(
z
)
=
z
+
q
0
=
z
+
i
z
R
{\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }}
この逆数 1/q (z ) をとると、以下の式のように q (z )w (z )R (z )
1
q
(
z
)
=
1
z
+
i
z
R
=
z
z
2
+
z
R
2
−
i
z
R
z
2
+
z
R
2
=
1
R
(
z
)
−
i
λ
π
w
2
(
z
)
{\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}}
複素ビームパラメータはガウシアンビームの解析において、特に転送行列 （英語版 ） 光共振器 の解析において重要である。
潜在的に楕円の、または非点収差 をもつビームの振幅 u は次のように二つの関数の積として表わせる。
u
(
x
,
y
,
z
)
=
u
(
x
,
z
)
u
(
y
,
z
)
{\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z)}
ここで、
u
(
x
,
z
)
=
1
q
x
(
z
)
exp
(
−
i
k
x
2
2
q
x
(
z
)
)
{\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right)}
u
(
y
,
z
)
=
1
q
y
(
z
)
exp
(
−
i
k
y
2
2
q
y
(
z
)
)
{\displaystyle {u}(y,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right)}
q x z )q y z )x , y 方向の複素ビームパラメータである。通常の円対称 （英語版 ） q x z ) = q x z ) = q x 2 + y 2 = r 2
u
(
r
,
z
)
=
1
q
(
z
)
exp
(
−
i
k
r
2
2
q
(
z
)
)
{\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right)}
位置 z の光軸に垂直な面上の半径 r をもつ円を通過するパワー P は以下のように表わされる。
P
(
r
,
z
)
=
P
0
[
1
−
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
{\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}
ここで、
P
0
=
1
2
π
I
0
w
0
2
{\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}
はビームの運ぶパワーの総計である。
円の半径が r = w (z )
P
(
z
)
P
0
=
1
−
e
−
2
≈
0.865
{\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865}
同じように、パワー全体の90%は半径 r = 1.07w (z )r = 1.224w (z )r = 1.52w (z )
光軸上のビームウェストから距離 z の点におけるピーク放射照度は、半径 r の円を通るパワーを πr 2 ロピタルの定理 を用いて計算すれば以下のように求めることができる。
I
(
0
,
z
)
=
lim
r
→
0
P
0
[
1
−
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
π
r
2
=
P
0
π
lim
r
→
0
[
−
(
−
2
)
(
2
r
)
e
−
2
r
2
/
w
2
(
z
)
]
w
2
(
z
)
(
2
r
)
=
2
P
0
π
w
2
(
z
)
{\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}}
よって、放射照度のピーク値は、半径 w (z )
ガウシアンビームの数学的形式は、以下に示す自由空間または一様な誘電率をもつ媒質における電磁波の波動方程式 （英語版 ）
∇
2
U
=
1
c
2
∂
2
U
∂
t
2
{\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}}
U は
E
x
{\displaystyle E_{x}}
E
y
{\displaystyle E_{y}}
E
z
{\displaystyle E_{z}}
B
x
{\displaystyle B_{x}}
B
y
{\displaystyle B_{y}}
B
z
{\displaystyle B_{z}}
U
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
u
(
x
,
y
,
z
)
e
−
i
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}}
ここで、ビームは十分にコリメート （英語版 ） z 軸に対して十分平行であるため、∂2 u /∂z 2 は無視できるものと仮定している。この解を上の波動方程式に代入すると、下に示す近軸近似の下での波動方程式 が得られる。
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
=
2
i
k
∂
u
∂
z
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}}
この微分方程式は無限の解関数を持つが、ガウシアンビームはそれらのうち最も低次のモードである。
ガウシアンビームは近軸近似の下であり得る無数のモードのうちの一つにすぎない。これらの互いに直交 するモードもレーザービームのモデリングに用いられる。一般に、基底 系が完全であれば、その線形結合をとることによってあらゆる実際のレーザービームを記述することができる。レーザーの設計によって、どのモードがそのレーザービームのモデルに適しているかが決まる。出力されるレーザーがある一つの高次モードによりよく近似されることもありうる。 多くのレーザー系はビームの伝播方向に直交する面での反転対称性をもつため、エルミート・ガウシアンモードが特によく用いられる。
エルミート・ガウシアンモードの例 エルミート・ガウシアンモードは共振器が回転対称でなく、水平方向と鉛直方向が同等でない場合の出力レーザーの記述に便利である。上に定義した複素パラメータ q を用いると、 x -面内の振幅分布は以下の関数に比例する。
u
n
(
x
,
z
)
=
(
2
π
)
1
/
4
(
1
2
n
n
!
w
0
)
1
/
2
(
q
0
q
(
z
)
)
1
/
2
[
q
0
q
0
∗
q
∗
(
z
)
q
(
z
)
]
n
/
2
H
n
(
2
x
w
(
z
)
)
exp
[
−
i
k
x
2
2
q
(
z
)
]
{\displaystyle {u}_{n}(x,z)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{2^{n}n!w_{0}}}\right)^{1/2}\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{1/2}\left[{\frac {{q}_{0}}{{q}_{0}^{\ast }}}{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right]^{n/2}H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\exp \left[-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right]}
ここで、 Hn (x )n 次のエルミート多項式 と呼ばれる関数（ここでは物理学者の定式を用いる。すなわち、 H1 (x ) = 2x 複素共役 を示す。n = 0
二次元直交座標系 においては、umn (x ,y ,z ) = um (x ,z )un (y ,z )un (y ,z )um (x ,z )ヘルムホルツ方程式 が変数分離 できることに起因する。
エルミート・ガウシアンモードは通常「TEMmn m , n はそれぞれ x , y 方向の多項式の次数である。よって、ガウシアンモードは TEM00 と表記される。
TEMmn 00 モードの場合よりも強く、 1 + n + m 倍になる。軸上以外の位相シフトも異なる。
ラゲール・ガウシアンモードの強度分布の例。 円筒対称性のある場合、近軸波動方程式の自然な解はラゲール・ガウシアンモードを与える。このモードは、円筒座標系とラゲール多項式 を用いて以下のように書ける。
u
(
r
,
ϕ
,
z
)
=
C
l
p
L
G
w
(
z
)
(
r
2
w
(
z
)
)
|
l
|
exp
(
−
r
2
w
2
(
z
)
)
L
p
|
l
|
(
2
r
2
w
2
(
z
)
)
exp
(
−
i
k
r
2
2
R
(
z
)
)
exp
(
i
l
ϕ
)
exp
[
i
(
2
p
+
|
l
|
+
1
)
ζ
(
z
)
]
{\displaystyle {u}(r,\phi ,z)={\frac {C_{lp}^{\mathrm {LG} }}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{|l|}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(il\phi )\exp \left[i(2p+|l|+1)\zeta (z)\right]}
ここで、 L l p p ≥ 0l の一般化ラゲール関数 である。 C LGlp w (z ), R (z ), ζ (z )前述 のビームパラメータである。
楕円座標系 （英語版 ） インス多項式 （英語版 ） [ 15]
u
ε
(
ξ
,
η
,
z
)
=
w
0
w
(
z
)
C
p
m
(
i
ξ
,
ε
)
C
p
m
(
η
,
ε
)
exp
[
−
i
k
r
2
2
q
(
z
)
−
(
p
+
1
)
ζ
(
z
)
]
{\displaystyle u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right]}
ここで、 ξ , η はそれぞれ楕円座標系の動径座標と偏角座標であり、以下のように定義される。
x
=
ε
/
2
w
(
z
)
cosh
ξ
cos
η
{\displaystyle x={\sqrt {\varepsilon /2}}w\left(z\right)\cosh \xi \cos \eta }
y
=
ε
/
2
w
(
z
)
sinh
ξ
sin
η
{\displaystyle y={\sqrt {\varepsilon /2}}w\left(z\right)\sinh \xi \sin \eta }
C
p
m
(
η
,
ε
)
{\displaystyle {C}_{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)}
p 、度数 m の偶数インス多項式であり、 ε は楕円度パラメータである。エルミート・ガウシアンモードとラゲール・ガウシアンモードはインス・ガウシアンモードのそれぞれ ε = ∞ε = 0
近軸モードには、他にも極座標系 において複素振幅 が合流型超幾何関数 （英語版 ）
これらのモードは位相特異点 をもち、光子の軌道角運動量 （英語版 ） ρ = r /w 0 Ζ = z /z R を用いて以下のように書き下される。
u
p
m
(
ρ
,
θ
;
Z
)
=
2
p
+
|
m
|
+
1
π
Γ
(
p
+
|
m
|
+
1
)
Γ
(
1
+
|
m
|
+
p
2
)
Γ
(
|
m
|
+
1
)
i
|
m
|
+
1
Z
p
2
(
Z
+
i
)
−
(
1
+
|
m
|
+
p
2
)
ρ
|
m
|
e
−
i
ρ
2
(
Z
+
i
)
e
i
m
ϕ
1
F
1
(
−
p
2
,
|
m
|
+
1
;
r
2
Z
(
Z
+
i
)
)
{\displaystyle u_{pm}(\rho ,\theta ;\mathrm {Z} )={\sqrt {\frac {2^{p+|m|+1}}{\pi \Gamma (p+|m|+1)}}}{\frac {\Gamma (1+|m|+{\frac {p}{2}})}{\Gamma (|m|+1)}}\,\,i^{|m|+1}\mathrm {Z} ^{\frac {p}{2}}(\mathrm {Z} +i)^{-(1+|m|+{\frac {p}{2}})}\rho ^{|m|}e^{-{\frac {i\rho ^{2}}{(\mathrm {Z} +i)}}}e^{im\phi }{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {p}{2}},|m|+1;{\frac {r^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)}
ここで m は整数、 p ≥ −|m |Γ(x ) はガンマ関数、1 F 1 (a , b ; x )
超幾何ガウシアン (英 : hypergeometric-Gaussian , HyGG) モードの部分集合として、ベッセル・ガウシアンモード、修正指数ガウシアンモード、修正ラゲール・ガウシアンモードがある。
超幾何ガウシアンモードは過完備基底系を成し、直交基底系ではない。このモードは全体としては複雑な分布を持つが、瞳面 (Z = 0
u
(
ρ
,
ϕ
,
0
)
∝
ρ
p
+
|
m
|
e
−
ρ
2
+
i
m
ϕ
{\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{p+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }}
Bandres, Miguel A.; Gutierrez-Vega, Julio C. (2004). “Ince Gaussian beams” . Opt. Lett. (OSA) 29 (2): 144–146. Bibcode : 2004OptL...29..144B . doi :10.1364/OL.29.000144 . PMID 14743992 . http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-29-2-144 . Garg, Anupam (2012). Classical Electromagnetism in a Nutshell . Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0691130183 Goubau, G; Schwering, F. (1961). “On the guided propagation of electromagnetic wave beams”. IRE Trans. 9 : 248–256. Bibcode : 1961ITAP....9..248G . doi :10.1109/TAP.1961.1144999 . MR 0134166 . Karimi, E.; Zito, G.; Piccirillo, B.; Marrucci, L.; Santamato, E. (2007). “Hypergeometric-Gaussian beams” . Opt. Lett. (OSA) 32 (21): 3053–3055. arXiv :0712.0782 . Bibcode : 2007OptL...32.3053K . doi :10.1364/OL.32.003053 . PMID 17975594 . http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-32-21-3053 . Mandel, Leonard; Wolf, Emil (1995). Optical Coherence and Quantum Optics . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41711-2 Pampaloni,F. and Enderlein, J. (2004). “Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer”. arXiv :physics/0410021 {{cite arXiv }}: CS1メンテナンス: 複数の名前/author (カテゴリ )Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentals of Photonics . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5 Siegman, Anthony E. (1986). Lasers . University Science Books. ISBN 0-935702-11-3 Svelto, Orazio (2010). Principles of Lasers (5th ed.) Yariv, Amnon (1989). Quantum Electronics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-60997-8 Paschotta, Rüdiger. “Gouy Phase Shift ”. Encyclopedia of Laser Physics and Technology . RP Photonics. 2014年5月2日閲覧。 Wang, Xinke; Sun, Wenfeng; Cui, Ye; Ye, Jiasheng; Feng, Shengfei; Zhang, Yan (2013). “Complete presentation of the Gouy phase shift with the THz digital holography” (pdf). Optics Express 21 (2): 2337–2346. Bibcode : 2013OExpr..21.2337W . doi :10.1364/OE.21.002337 . http://www.opticsinfobase.org/view_article.cfm?gotourl=http%3A%2F%2Fwww.opticsinfobase.org%2FDirectPDFAccess%2F81BE495C-93D8-6B94-1855F531C2FC3F3C_248699%2Foe-21-2-2337.pdf%3Fda%3D1%26id%3D248699%26seq%3D0%26mobile%3Dno&org= . “Gaussian Beam Optics ” (pdf). Melles Griot and Newport. 2015年10月3日閲覧。 Allen, L. (June 1, 1992). “Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes” . Physical Review A 45 (11): 8185. Bibcode : 1992PhRvA..45.8185A . doi :10.1103/physreva.45.8185 . http://www.science.uva.nl/research/aplp/eprints/AllBeiSpr92.pdf .
![{\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b6b26a6d8c3f47d9bad2b8d0ecf9b9e33e1c56)
![{\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185a55112573d929e15b896cfb3e5932275a1d03)
![{\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbc06c6636cc7db160561b69e11279342b33f40)
![{\displaystyle {u}_{n}(x,z)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{2^{n}n!w_{0}}}\right)^{1/2}\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{1/2}\left[{\frac {{q}_{0}}{{q}_{0}^{\ast }}}{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right]^{n/2}H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\exp \left[-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7088ec1c8e16cb52f5732fb4476b43bf3a079551)
![{\displaystyle {u}(r,\phi ,z)={\frac {C_{lp}^{\mathrm {LG} }}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{|l|}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(il\phi )\exp \left[i(2p+|l|+1)\zeta (z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1860fc6746bef96c3f19c55b91f81757f9e8f97a)
![{\displaystyle u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a66666f4aa5a680fab1e3eff8647cced5cb7de7)
