この項目では、直交クリフォード代数について説明しています。斜交クリフォード代数については「ワイル代数 」をご覧ください。
数学 において、クリフォード代数 (クリフォードだいすう、英 : Clifford algebra ) は結合多元環 の一種である。K -代数実数 、複素数 、四元数 、そしていくつかの他の超複素数 系を一般化する[ 1] [ 2] 二次形式 と直交変換 の理論と密接な関係がある。クリフォード代数は幾何学 、理論物理学 、デジタル画像処理 を含む種々の分野において重要な応用を持つ。イギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォード にちなんだ名称である。
最もよく知られたクリフォード代数、あるいは直交クリフォード代数 (ちょっこうクリフォードだいすう、英 : orthogonal Clifford algebra ) は、リーマンクリフォード代数 (リーマンクリフォードだいすう、英 : Riemannian Clifford algebra ) とも呼ばれる[ 3] :83 。
クリフォード代数は二次形式 Q を伴った体 K 上のベクトル空間 V を含み，それによって生成される単位的 結合多元環 である。クリフォード代数 Cℓ (V , Q )V から生成される「最も自由な」代数である[ 注釈 1]
v
2
=
Q
(
v
)
1
(
∀
v
∈
V
)
,
{\displaystyle v^{2}=Q(v)1\quad (\forall v\in V),}
ただし左辺の積はクリフォード代数としての積であり、1 は乗法単位元 である。
クリフォード代数の定義は「裸の」(bare) K -代数V に同型 な特定の、あるいは特別に選ばれた部分空間を持つ。そのような部分空間はクリフォード代数に同型な K -代数のみが与えられても一般には一意には決まらない。
基礎体 K の標数 が 2 でなければ、この基本関係式を次の形に書き直すことができる：
u
v
+
v
u
=
2
⟨
u
,
v
⟩
1
(
∀
u
,
v
∈
V
)
,
{\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\quad (\forall u,v\in V),}
ただし
⟨
u
,
v
⟩
=
1
2
(
Q
(
u
+
v
)
−
Q
(
u
)
−
Q
(
v
)
)
{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}
は極化恒等式 (polarization identity)によって Q と結びついた対称 双線型形式 である。この関係式を満たす「最も自由な」 (freest) あるいは「最も一般」 (most general) な代数であることのアイデアは普遍性 の概念を通じて下記 でされるように正式に表現できる。
標数 2 の場合の二次形式とクリフォード代数は例外的な場合になる。特に、char(K ) = 2 であれば、二次形式が対称双線型形式を決定すること、あるいはすべての二次形式が直交基底を持つということは正しくない。この記事のステートメントの多くは標数が 2 でないという条件を含み、条件が除かれると誤りである。
クリフォード代数は外積代数 と近い関係にある。実は、Q = 0Cℓ (V , Q )⋀(V ) になる。零ではない Q に対して基礎体 K の標数が 2 でないときにはいつでも ⋀(V ) と Cℓ (V , Q )自然に同型 であるが、異なる乗法を与える（標数 2 の場合にはそれらはなおベクトル空間として同型であるが、自然にではない）。指定された部分空間とクリフォード乗法を合わせたものはその内容が外積代数 にくらべるて真により豊かである、なぜならば Q がもたらす追加の情報を使うからである。
より正確には、ワイル代数 が対称代数 の量子化であるのと同じ方法で、クリフォード代数は外積代数の量子化 （cf. 量子群 ）であると考えることができる。
ワイル代数とクリフォード代数ではさらに *-環 という構造を持ち、CCR and CAR algebras において議論されているように、超代数 （英語版 ）
V を体 K 上のベクトル空間 とし、Q : V → K V 上の二次形式 とする。興味のあるたいていのケースでは体 K は実数 体 R か複素数 体 C か有限体 である。
クリフォード代数 Cℓ (V , Q )普遍性 によって定義されるすべての v ∈ V i (v )2 = Q (v )1線型写像 i : V → Cℓ (V , Q )K 上の単位的 結合多元環 である： K 上の任意の結合代数 A と
j (v )2 ≔ Q (v )1A v ∈ V )
（ただし 1A A の乗法単位元を表す）なる任意の線型写像 j : V → A 交換する 一意的な多元環準同型 （英語版 ） f : Cℓ (V , Q ) → A f ∘ i = j
（標数≠2 において）Q の代わりに対称双線型形式 ⟨ ·,·⟩ j に対する要求は次のようになる。
j
(
v
)
j
(
w
)
+
j
(
w
)
j
(
v
)
=
2
⟨
v
,
w
⟩
1
A
(
∀
v
,
w
∈
V
)
.
{\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=2\langle v,w\rangle 1_{A}\quad (\forall v,w\in V).}
上で記述された性質をもつクリフォード代数はつねに存在して次のように構成できる： V を含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数 T (V )商 を取ることによって基本関係式が成り立つようにする。この場合
v
⊗
v
−
Q
(
v
)
1
(
∀
v
∈
V
)
{\displaystyle v\otimes v-Q(v)1\quad (\forall v\in V)}
の形のすべての元によって生成された T (V )両側イデアル IQ を取り除くために、Cℓ (V , Q )
Cℓ (V , Q ) ≔ T (V ) / IQ として定義する。この商によって継承される環の積はときどきクリフォード積 (Clifford product) と呼ばれ 外積やスカラー積などとは別のものとして区別される。
すると Cℓ (V , Q )V を含みかつ上の普遍性質を満たすことが直ちに示せてそのことから Cℓ は同型を除いて一意に決まる； われわれが "the" Clifford algebra Cℓ (V , Q )i が単射 であることも従う。通常は V を Cℓ (V , Q )部分線型空間 であるように考えて i を書かずに省く。
上記のようなクリフォード代数の普遍的な特徴づけは Cℓ (V , Q )関手的 であることを示している。すなわち、Cℓ は二次形式を持ったベクトル空間の圏 （射 は二次形式を保つ線型写像）から結合代数への関手 と考えることができる。普遍性は（二次形式を保つ）ベクトル空間の間の線型写像を結合クリフォード代数の間の代数準同型 （英語版 ）
ベクトル空間V の体 K 上の次元 が n であり {e 1 , …, en } が (V , Q ) の直交基底 （英語版 ） Cℓ (V , Q )K 上自由でその基底（の 1 つ）は以下で与えられる。
{
e
i
1
e
i
2
⋯
e
i
k
∣
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
and
0
≤
k
≤
n
}
{\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\text{ and }}0\leq k\leq n\}}
空積 (k = 0単位元 として定義される。k の各値に対して
n
C
k
{\displaystyle {}_{n}C_{k}}
dim
C
ℓ
(
V
,
Q
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
=
2
n
.
{\displaystyle \dim C\ell (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=2^{n}.}
V は二次形式を伴っているので、V の 特別な基底として直交 基底を選べる。直交基底 （英語版 ）
⟨
e
i
,
e
j
⟩
=
0
{\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
⟨
e
i
,
e
i
⟩
=
Q
(
e
i
)
{\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i})\,}
であるような基底である。ただし ⟨ -, -⟩ Q に伴う対称双線型形式である。基本クリフォード関係式とはこの直交基底に対する積が
e
i
e
j
=
−
e
j
e
i
for
i
≠
j
,
and
e
i
2
=
Q
(
e
i
)
{\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}{\text{ for }}i\neq j,{\text{ and }}e_{i}^{2}=Q(e_{i})\,}
であることを意味している。このことにより直交基底ベクトルの扱いは極めて簡単になる。V の相異なる 直交基底ベクトルの積
e
i
1
e
i
2
⋯
e
i
k
{\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}
二元ごとの入れ替え の回数により決まる符号（すなわち整列させるための置換 の符号 ）を付ければできる。
最も重要なクリフォード代数は非退化2次形式 を備えた実 および複素 ベクトル空間上のものである。
代数 Cℓp,q (R )Cℓn (C )A あるいは A ⊕ A A は成分が R, C H 全行列環 、ということが明らかになる。これらの代数の完全な分類はクリフォード代数の分類 （英語版 ）
実クリフォード代数の幾何学的な解釈は幾何代数 （英語版 ）
有限次元実ベクトル空間上のすべての非退化2次形式は標準対角形式
Q
(
v
)
=
v
1
2
+
⋯
+
v
p
2
−
v
p
+
1
2
−
⋯
−
v
p
+
q
2
{\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\cdots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\cdots -v_{p+q}^{2}}
に同値である、ただし n = p + q p , q ) は二次形式の符号数 と呼ばれる。この二次形式を持った実ベクトル空間はしばしば R p,q R p,q Cℓp,q (R )Cℓn (R )Cℓ n ,0R )Cℓ 0,n (R )
R p,q 正規直交基底 (ei ) は互いに直交する n = p + q p 個はノルム +1 を持ち、q 個はノルム −1 を持つ。代数 Cℓp,q (R )p 個のベクトルと平方して −1 になる q 個のベクトルを持つ。
Cℓ 0,0 (R )R Cℓ 0,1 (R )e 1 複素数 体 C Cℓ 0,2 (R ){1, e 1 , e 2 , e 1 e 2 } によって張られる 4 次元の代数である。後ろ 3 つの元は平方して −1 になりすべて反交換するので、代数は四元数 体 H Cℓ 0,3 (R )分解型双四元数 （英語版 ） 直和 H ⊕ H
複素ベクトル空間上でもクリフォード代数を考えることができる。複素ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は標準対角形式
Q
(
z
)
=
z
1
2
+
z
2
2
+
⋯
+
z
n
2
{\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}}
ただし n = dim V n に対してただ1つの非退化なクリフォード代数が存在する。標準二次形式を持った C n Cℓn (C )
最初のいくつかの場合の計算は難しくはなくて
Cℓ 0 (C ) ≅ C 複素数 体Cℓ 1 (C ) ≅ C ⊕ C 双複素数 環Cℓ 2 (C ) ≅ M (2, C )双四元数 （英語版 ） であることがわかる、ただし M (n , C )C n ×n
このセクションにおいて、ハミルトンの四元数 がクリフォード代数 Cℓ 0,3 (R )
ベクトル空間 V を実 3 次元空間 R 3 とし、二次形式 Q を通常のユークリッド計量から入れる。すると、二次形式あるいはスカラー積は v , w ∈ R 3
v
⋅
w
=
v
1
w
1
+
v
2
w
2
+
v
3
w
3
.
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}
となる。いま次式で与えられるベクトル v と w のクリフォード積を導入する
v
w
+
w
v
=
−
2
(
v
⋅
w
)
.
{\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ).\!}
この定式化は負の符号を用いることで四元数 との対応を示すことを容易にしている。
R 3 の直交単位ベクトルの集合を e 1 , e 2 , e 3 として表記すると、クリフォード積は関係
e
2
e
3
=
−
e
3
e
2
,
e
3
e
1
=
−
e
1
e
3
,
e
1
e
2
=
−
e
2
e
1
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2},\,\,\,\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{3},\,\,\,\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1},\!}
および
e
1
2
=
e
2
2
=
e
3
2
=
−
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1\!}
を生み出す。クリフォード代数 Cℓ 0,3 (R )
A
=
a
0
+
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
+
a
4
e
2
e
3
+
a
5
e
3
e
1
+
a
6
e
1
e
2
+
a
7
e
1
e
2
e
3
{\displaystyle A=a_{0}+a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+a_{5}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+a_{6}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+a_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\!}
によって与えられる。
Cℓ 0,3 (R )
Q
=
q
0
+
q
1
e
2
e
3
+
q
2
e
3
e
1
+
q
3
e
1
e
2
{\displaystyle Q=q_{0}+q_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+q_{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+q_{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\!}
とともに Cℓ 0 R )i, j, k と
i
=
e
2
e
3
,
j
=
e
3
e
1
,
k
=
e
1
e
2
{\displaystyle i=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3},j=\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1},k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}}
として同一視することができ、これは偶部分代数 Cℓ 0 R )四元数 代数であることを示している。
これを見るには、
i
2
=
(
e
2
e
3
)
2
=
e
2
e
3
e
2
e
3
=
−
e
2
e
2
e
3
e
3
=
−
1
,
{\displaystyle i^{2}=(\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3})^{2}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1,\!}
と
i
j
=
e
2
e
3
e
3
e
1
=
−
e
2
e
1
=
e
1
e
2
=
k
{\displaystyle ij=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=k\!}
を計算する。最後に、
i
j
k
=
e
2
e
3
e
3
e
1
e
1
e
2
=
−
1.
{\displaystyle ijk=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-1.\!}
このセクションにおいて、双対四元数 （英語版 ） [ 5] [ 6]
ベクトル空間 V を実四次元空間 R 4 とし、二次形式 Q を R 3 上のユークリッド距離から入る退化形式とする。v , w ∈ R 4 に対して、退化双線型形式
d
(
v
,
w
)
=
v
1
w
1
+
v
2
w
2
+
v
3
w
3
.
{\displaystyle d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}
を導入する。この退化スカラー積は R 4 における距離測定を R 3 の超平面に全射で射影する。
ベクトル v と w のクリフォード積は
v
w
+
w
v
=
−
2
d
(
v
,
w
)
{\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2\,d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\!}
によって与えられる。負号は四元数との対応を簡単にするために導入していることに注意しよう。
R 4 の直交単位ベクトルの集合を e 1 , e 2 , e 3 , e 4 として表記すると、クリフォード積は関係
e
m
e
n
=
−
e
n
e
m
,
m
≠
n
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{m}\mathbf {e} _{n}=-\mathbf {e} _{n}\mathbf {e} _{m},\,\,\,m\neq n,\!}
と
e
1
2
=
e
2
2
=
e
3
2
=
−
1
,
e
4
2
=
0
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1,\,\,\mathbf {e} _{4}^{2}=0\!}
を生み出す。
クリフォード代数 Cℓ (R 4 ,d )Cℓ 0 (R 4 ,d )
H
=
h
0
+
h
1
e
2
e
3
+
h
2
e
3
e
1
+
h
3
e
1
e
2
+
h
4
e
4
e
1
+
h
5
e
4
e
2
+
h
6
e
4
e
3
+
h
7
e
1
e
2
e
3
e
4
.
{\displaystyle H=h_{0}+h_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+h_{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+h_{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+h_{4}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{1}+h_{5}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}+h_{6}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{3}+h_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}.\!}
基底元は四元数基底元 i, j, k と双対単位 ε と
i
=
e
2
e
3
,
j
=
e
3
e
1
,
k
=
e
1
e
2
,
ε
=
e
1
e
2
e
3
e
4
{\displaystyle i=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3},j=\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1},k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2},\,\,\varepsilon =\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}\!}
として同一視できる。これは Cℓ 0 R )双対四元数 代数との対応を提供する。
これを見るには、次式を計算する
ε
2
=
(
e
1
e
2
e
3
e
4
)
2
=
e
1
e
2
e
3
e
4
e
1
e
2
e
3
e
4
=
−
e
1
e
2
e
3
(
e
4
e
4
)
e
1
e
2
e
3
=
0
,
{\displaystyle \varepsilon ^{2}=(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}(\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{4})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=0,\!}
と
ε
i
=
(
e
1
e
2
e
3
e
4
)
e
2
e
3
=
e
1
e
2
e
3
e
4
e
2
e
3
=
e
2
e
3
(
e
1
e
2
e
3
e
4
)
=
i
ε
.
{\displaystyle \varepsilon i=(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})=i\varepsilon .\!}
e 1 と e 4 の交換は偶数回符号を交代し、双対単位 ε が四元数基底元 i, j, k と交換することを示す。
ベクトル空間 V が与えられると外積代数 ⋀(V ) を構成でき、その次元は V 上のどんな二次形式からも独立である。K が標数 2 でなければ ⋀(V ) と Cℓ (V , Q )自然な同型 が存在する（そして標数が 2 でない場合には自然でないかもしれない同型が存在する）ということが判明する。これが代数同型であることと Q = 0Cℓ (V , Q )Q に依存した積で V 上の外積代数を豊かにしたもの（あるいはより正確には、量子化、 cf. 導入）と考えることができる（外積はなお Q とは独立に定義できる）。
同型を確立する最も易しい方法は V の直交 基底 {ei } をとりそれを上 で述べられたように Cℓ (V , Q )Cℓ (V , Q ) → ⋀(V )
e
i
1
e
i
2
⋯
e
i
k
↦
e
i
1
∧
e
i
2
∧
⋯
∧
e
i
k
{\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}
によって決定される。これは基底 {ei } が直交しているときにのみうまくいくことに注意しよう。この写像は直交基底の選択とは独立であり従って自然同型を与えることを示すことができる。
K の標数 が 0 であれば、反対称化によっても同型を確立できる。関数 fk : V × ⋯ × V → Cℓ (V , Q )
f
k
(
v
1
,
⋯
,
v
k
)
=
1
k
!
∑
σ
∈
S
k
s
g
n
(
σ
)
v
σ
(
1
)
⋯
v
σ
(
k
)
{\displaystyle f_{k}(v_{1},\cdots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}
によって定義する、ただし和は k 個の元の上の置換群 を渡って取られる。fk は交代形式 （英語版 ） ⋀k V ) → Cℓ (V , Q ) を誘導する。これらの写像の直和 は ⋀(V ) と Cℓ (V , Q )
関係を見るより洗練された方法は Cℓ (V , Q )フィルトレーション （英語版 ） テンソル代数 T (V ) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう： F 0 ⊂ F 1 ⊂ F 2 ⊂ ⋯Fk は k -階以下のテンソル の和を含む。これをクリフォード代数に射影することで Cℓ (V , Q )次数代数
Gr
F
C
ℓ
(
V
,
Q
)
=
⨁
k
F
k
/
F
k
−
1
{\displaystyle \operatorname {Gr} \nolimits _{F}C\ell (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}
は自然に外積代数 ⋀(V ) に同型である。フィルター代数の伴う次数代数は（すべての k に対してFk のコンポーネントを F k +1
以降では標数は 2 でないとする[ 注釈 2]
クリフォード代数は Z 2 -次数代数 （超代数 （英語版 ） v ↦ −v V 上の線型写像（原点を通る反射 （英語版 ） Q を保存ししたがってクリフォード代数の普遍性によって代数自己同型
α : Cℓ (V , Q ) → Cℓ (V , Q )に拡張する。α は対合 （すなわち自乗すると恒等関数 になる）であるから、Cℓ (V , Q )α の正と負の固有空間に分解できる
C
ℓ
(
V
,
Q
)
=
C
ℓ
0
(
V
,
Q
)
⊕
C
ℓ
1
(
V
,
Q
)
{\displaystyle C\ell (V,Q)=C\ell ^{0}(V,Q)\oplus C\ell ^{1}(V,Q)}
ただし Cℓi (V , Q ) ≔ {x ∈ Cℓ (V , Q ) | α (x ) = (−1)i xα は自己同型であるから
C
ℓ
i
(
V
,
Q
)
C
ℓ
j
(
V
,
Q
)
=
C
ℓ
i
+
j
(
V
,
Q
)
{\displaystyle C\ell ^{\,i}(V,Q)C\ell ^{\,j}(V,Q)=C\ell ^{\,i+j}(V,Q)}
が従う、ただし右上の添え字は modulo 2 で読まれる。これは Cℓ (V , Q )Z 2 -次数代数 の構造を与える。部分空間 Cℓ 0 (V , Q )Cℓ (V , Q )部分代数 をなし、偶部分代数 (even subalgebra ) と呼ばれる。部分空間 Cℓ 1 (V , Q )Cℓ (V , Q )奇成分 (odd part ) と呼ばれる（部分代数ではない）。この Z 2 -次数付けはクリフォード代数の解析と応用において重要な役割を果たす。自己同型 α は主対合 (main involution ) あるいは次数付き対合 (grade involution ) と呼ばれる。この Z 2 -次数付けにおいて pure な元は単に even あるいは odd と呼ばれる。
注意
標数が 2 でなければ Cℓ (V , Q )N -次数付けと Z -次数付けを外積代数 ⋀(V ) の基礎ベクトル空間との自然な同型から受け継ぐ[ 注釈 3] ベクトル空間の次数付けでしかない ことに注意することは重要である。つまり、クリフォード乗法は N -次数付けや Z -次数付けをリスペクトせず、Z 2 -次数付けだけなのである： 例えば Q (v ) ≠ 0v ∈ Cℓ 1 (V , Q )v 2 ∈ Cℓ 0 (V , Q )Cℓ 2 (V , Q )Z 2 ≅N /2N ≅ Z /2Z Z -filtered （英語版 ） Cℓ ≤i (V , Q ) ⋅ Cℓ ≤j (V , Q ) ⊂ Cℓ ≤i +j (V , Q )次数 (degree) は通常 N -次数付けにおける次数のことである。 クリフォード代数の偶部分代数 Cℓ 0 (V , Q )[ 注釈 4] [ 注釈 5] V がノルム Q (a )U のベクトル a の直交直和 であれば、Cℓ 0 (V , Q )Cℓ (U , −Q (a )Q )−Q (a )Q は U に制限され −Q (a ) を掛けた形式 Q である。特に実数体上これは次を意味する
C
ℓ
p
,
q
0
(
R
)
≅
C
ℓ
p
,
q
−
1
(
R
)
(
q
>
0
)
,
{\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}(\mathbf {R} )\cong C\ell _{p,q-1}(\mathbf {R} )\quad (q>0),}
C
ℓ
p
,
q
0
(
R
)
≅
C
ℓ
q
,
p
−
1
(
R
)
(
p
>
0
)
{\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}(\mathbf {R} )\cong C\ell _{q,p-1}(\mathbf {R} )\quad (p>0)}
負定値の場合にはこれは包含 Cℓ 0,n −1 (R ) ⊂ Cℓ 0,n (R )
R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ ⋯同様に、複素の場合には、Cℓn (C )Cℓ n −1C )
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型 （英語版 ） テンソル代数 T (V ) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう：
v
1
⊗
v
2
⊗
⋯
⊗
v
k
↦
v
k
⊗
⋯
⊗
v
2
⊗
v
1
.
{\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}
イデアル IQ はこの反転の下で不変なので、この演算は Cℓ (V , Q )転置 (transpose) あるいは反転 (reversal) 演算と呼ばれ、t xt xy ) = t y t x Z 2 -次数付けを全く使わないので2つ目の反自己同型を α と転置を合成することによって定義する。この演算をクリフォード共役 (Clifford conjugation) と呼び x
x
¯
=
α
(
t
x
)
=
t
(
α
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (^{t}\!x)={}^{t}\!(\alpha (x)).}
2 つの反自己同型のうち転置はより基本的である[ 注釈 6]
これらの演算は全て対合 であることに注意しよう。それらは Z -次数付けにおいて pure な元上 ±1 として作用することを示すことができる。実際、すべての 3 つの演算は次数 modulo 4 にしか依らない。つまり、x が pure で次数 k であれば、
α
(
x
)
=
±
x
t
x
=
±
x
x
¯
=
±
x
{\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad {}^{t}\!x=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}
ただし符号は以下の表によって与えられる：
k mod 40
1
2
3
α
(
x
)
{\displaystyle \alpha (x)}
+
−
+
−
(−1)k
t
x
{\displaystyle {}^{t}\!x}
+
+
−
−
(−1)k (k −1)/2
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
+
−
−
+
(−1)k (k +1)/2
標数が 2 でないとき、V 上の二次形式 Q は Cℓ (V , Q )Q によって表記する）。1 つのそのような拡張の基底に依存しない定義は
Q
(
x
)
=
⟨
t
x
x
⟩
{\displaystyle Q(x)=\langle {}^{t}\!xx\rangle }
ただし
⟨
a
⟩
{\displaystyle \langle a\rangle }
a のスカラー部分（Z -次数付けにおいて次数 0 の部分）を表記する。
Q
(
v
1
v
2
⋯
v
k
)
=
Q
(
v
1
)
Q
(
v
2
)
⋯
Q
(
v
k
)
{\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}
を示すことができる、ただし vi は V の元である – この恒等式は Cℓ (V , Q )
Cℓ (V , Q )
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
t
x
y
⟩
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle {}^{t}\!xy\rangle }
によって与えられる。これは V に制限されたときにもとの双線型形式に戻ることを確認できる。 Cℓ (V , Q )非退化 であることとそれが V 上非退化であることは同値である。
転置はこの内積に関して左/右クリフォード乗法の随伴 であることを証明するのは難しくない。つまり、
⟨
a
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
t
a
y
⟩
,
{\displaystyle \langle ax,y\rangle =\langle x,{}^{t}\!ay\rangle ,}
および
⟨
x
a
,
y
⟩
=
⟨
x
,
y
t
a
⟩
.
{\displaystyle \langle xa,y\rangle =\langle x,y{}^{t}\!a\rangle .}
この節ではベクトル空間 V の次元は有限であり Q の双線型形式は非特異であると仮定する。K 上の中心単純代数 は中心が K の（有限次元）可除代数上の行列代数である。例えば、実数体上の中心単純代数は実数体あるいは四元数体上の行列代数である。
V の次元が偶数であれば Cℓ (V , Q )K 上の中心単純代数である。V の次元が偶数であれば Cℓ 0 (V , Q )K の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは K 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。V の次元が奇数であれば Cℓ (V , Q )K の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは K 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。V の次元が奇数であれば Cℓ 0 (V , Q )K 上の中心単純代数である。以下の結果を用いるとクリフォード代数の構造は明示的に解明される。U の次元は偶数で判別式 d の非特異双線型形式を持っているとし、V は二次形式を持つ別の空間とする。U + V U と (−1)dim(U )/2 dV のクリフォード代数のテンソル積に同型であり、後者はその二次形式に (−1)dim(U )/2 d を掛けた空間 V である。これは実数体上では特に次のことを意味する
C
ℓ
p
+
2
,
q
(
R
)
=
M
2
(
R
)
⊗
C
ℓ
q
,
p
(
R
)
{\displaystyle C\ell _{p+2,q}(\mathbf {R} )=M_{2}(\mathbf {R} )\otimes C\ell _{q,p}(\mathbf {R} )}
C
ℓ
p
+
1
,
q
+
1
(
R
)
=
M
2
(
R
)
⊗
C
ℓ
p
,
q
(
R
)
{\displaystyle C\ell _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=M_{2}(\mathbf {R} )\otimes C\ell _{p,q}(\mathbf {R} )}
C
ℓ
p
,
q
+
2
(
R
)
=
H
⊗
C
ℓ
q
,
p
(
R
)
.
{\displaystyle C\ell _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes C\ell _{q,p}(\mathbf {R} ).}
これらの公式を用いることで実と複素のすべてのクリフォード代数の構造が導かれる。クリフォード代数の分類 （英語版 ）
とりわけ、クリフォード代数の森田同値 類（その表現論： それ上の加群の圏の同値類）は符号 (p − q ) mod 8 のみに依っている。これはボットの周期性 （英語版 ）
クリフォード群のクラスはルドルフ・リプシッツ (Rudolf Lipschitz ) によって発見された。
このセクションにおいて V は有限次元で二次形式 Q は非退化 であると仮定する。
クリフォード代数の元へのその可逆元の群による作用はひねられた共軛 (twisted conjugation) の言葉によって定義できる。x は y ↦ xyα (x )−1 α は上 で定義された main involution 、による twisted conjugation。
クリフォード群 Γ はこの作用の下でベクトルを安定化する (stabilize vectors) 可逆元 x の集合として定義される。これが意味するのは V のすべての v に対して：
x
v
α
(
x
)
−
1
∈
V
.
{\displaystyle xv\alpha (x)^{-1}\in V.}
この公式はまたノルム Q を保つベクトル空間 V 上のクリフォード群の作用を定義し、従ってクリフォード群から直交群への準同型を与える。クリフォード群はノルムが 0 でない V のすべての元 r を含み、これらは v を v − 2 ⟨ v ,r ⟩ r /Q (r )V 上作用する。（標数 2 においてこれらは鏡映ではなく「直交移換」(orthogonal transvection) と呼ばれる。）
クリフォード群 Γ は2 つの部分集合 Γ0 と Γ1 の非交和である、ただし Γi i の元の部分集合である。部分集合 Γ0 は Γ において指数 2 の部分群である。
V が正定値（あるいは負定値）二次形式を持った有限次元実ベクトル空間であればクリフォード群は（カルタン・デュドネの定理 によって）その形式に関して V の直交群に全射し核は体 K の 0 でない元からなる。これは次の完全列を導く
1
→
K
∗
→
Γ
→
O
V
(
K
)
→
1
,
{\displaystyle 1\to K^{*}\to \Gamma \to \operatorname {O} _{V}(K)\to 1,}
1
→
K
∗
→
Γ
0
→
SO
V
(
K
)
→
1.
{\displaystyle 1\to K^{*}\to \Gamma ^{0}\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to 1.}
他の体上あるいは不定値形式では、写像は一般には全射ではなく、失敗はスピノルノルムによってとらえられる。
任意の標数において、スピノルノルム Q はクリフォード群上
Q
(
x
)
=
t
x
x
.
{\displaystyle Q(x)={}^{t}\!xx.\,}
によって定義される。それはクリフォード群から K の非零元の群 K* への準同型である。それは V をクリフォード代数の部分空間と同一視したときに V の二次形式 Q と一致する。著者によってはスピノルノルムの定義が僅かに異なり、ここでのものとは Γ1 上 −1, 2, あるいは −2 の因子によって異なる。違いは標数が 2 でなければそれほど重要ではない。
K の 0 でない元は体 K の非零元の平方の群 K* 2 V が有限次元で非特異なとき V の直交群から群 K* /K* 2 r の鏡映のスピノルノルムは K* /K* 2 Q (r )
1
→
{
±
1
}
→
Pin
V
(
K
)
→
O
V
(
K
)
→
K
∗
/
K
∗
2
,
{\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{*}/K^{*2},}
1
→
{
±
1
}
→
Spin
V
(
K
)
→
SO
V
(
K
)
→
K
∗
/
K
∗
2
.
{\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{*}/K^{*2}.}
標数 2 においては群 {±1} はただ 1 つの元を持つことに注意せよ。
代数群 のガロワコホモロジー の視点から、スピノルノルムはコホモロジーの連結準同型 である。1 の平方根の代数群 （標数が 2 でない体上それは大雑把には自明なガロワ作用を持った 2 元群と同じである）を μ2 と書くと、短完全列
1
→
μ
2
→
P
i
n
V
→
O
V
→
1
{\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O} _{V}\rightarrow 1\,}
はコホモロジーの長完全列を生み出し、それは
1
→
H
0
(
μ
2
;
K
)
→
H
0
(
P
i
n
V
;
K
)
→
H
0
(
O
V
;
K
)
→
H
1
(
μ
2
;
K
)
{\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\mathrm {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\mathrm {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K)\,}
で始まる。K に係数を持つ代数群の 0 次ガロワコホモロジー群は単に K -値点の群である： H 0 (G ; K ) = G (K )H 1 (μ 2 ; K ) ≅ K* /K* 2
1
→
{
±
1
}
→
Pin
V
(
K
)
→
O
V
(
K
)
→
K
∗
/
K
∗
2
,
{\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{*}/K^{*2},\,}
ただしスピノルノルムは連結準同型 H 0 (OV K ) → H 1 (μ 2 ; K )
本節において V は有限次元でありその双線型形式は非特異であると仮定する。（K が標数 2 であればこれは V の次元が偶数であることを含む。）
ピン群 PinV K ) はスピノルノルム ±1 の元のクリフォード群 Γ の部分群であり、同様にスピン群 SpinV K ) は PinV K ) においてディクソン不変量 0 の元の部分群である。標数が 2 でないとき、これらは行列式 1 の元である。スピン群は通常ピン群において指数 2 を持つ。
クリフォード群から直交群への全射準同型が存在することを直前のセクションから思い出そう。特殊直交群 を Γ0 の像として定義する。K の標数が 2 でなければこれは単に直交群の行列式 1 の元の群である。K の標数が 2 であれば、直交群のすべての元は行列式 1 をもち、特殊直交群はディクソン不変量 0 の元の集合である。
ピン群から直交群への準同型が存在する。像はスピノルノルム 1 ∈ K* /K* 2 の元からなる。核は元 +1 と −1 からなり、K の標数が 2 でなければ位数 2 をもつ。同様にスピン群から V の特殊直交群への準同型が存在する。
V が実数上正あるいは負定値空間である共通の場合において、スピン群は特殊直交群の上へと写り V の次元が少なくとも 3 であれば単連結である。さらにこの準同型の核は 1 と −1 からなる。なのでこの場合スピン群 Spin(n ) は SO(n ) の二重被覆である。しかしながら、スピン群の単連結性は一般には正しくないことに注意してください： V がともに 2 以上の p , q R p,q Spinp,q は代数群として単連結である。その実数値点の群 Spinp,q R ) は単連結でないにもかかわらず。これはかなり微妙な点であり、少なくとも 1 冊のスピン群についての標準的な本の著者をすっかり混乱させた。
クリフォード代数 Cℓp,q (C )p + q = 2n 2n 次元の複素表現を持つ行列代数である。群 Pinp,q R ) に制限することにより同じ次元の Pin 群の複素表現を得、これはスピン表現 （英語版 ） Spinp,q R ) に制限すれば次元 2n −1 の 2 つの半スピン表現 （あるいはワイル表現 ）の和として分解する。
p + q = 2n + 1Cℓp,q (C )2n 次元の表現を持っているような 2 つの行列代数の和であり、これらもまた両方ともピン群 Pinp,q R ) の表現である。スピン群 Spinp,q R ) への制限上これらは同型になり、したがってスピン群は次元 2n の複素スピノル表現を持つ。
より一般に、任意の体上のスピノル群とピン群は正確な構造が対応するクリフォード代数の構造 （英語版 ） スピノール の記事を見よ。
実スピン表現を記述するために、スピン群がクリフォード代数の中にどのようにあるかを知らなければならない。ピン群 Pinp,q は単位ベクトルの積として書ける Cℓp,q の可逆元の集合である：
Pin
p
,
q
:=
{
v
1
v
2
…
v
r
∣
∀
i
‖
v
i
‖
=
±
1
}
.
{\displaystyle \operatorname {Pin} \nolimits _{p,q}:=\{v_{1}v_{2}\dots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\}.}
クリフォード代数の上の具体的な実現と比べて、ピン群は任意にたくさんの鏡映の積に対応する： それは全直交群 O(p , q ) の被覆である。スピン群 は単位ベクトルの偶数個の積であるような Pinp,q の元からなる。したがってカルタン・デュドネの定理 によって Spin は固有回転の群 SO(p , q ) の被覆である。
α : Cℓ → Cℓ v ↦ −v Spinp,q は元が α によって固定される Pinp,q の部分群である。
C
ℓ
p
,
q
0
=
{
x
∈
C
ℓ
p
,
q
∣
α
(
x
)
=
x
}
{\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}=\{x\in C\ell _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}}
とする。（これらは Cℓp,q においてちょうど偶数次の元である。）するとスピン群は Cℓ 0p,q
Cℓp,q の既約表現はピン群の表現を与えるために制限する。逆に、ピン群は単位ベクトルで生成されるから、その既約表現のすべてはこのようにして誘導される。したがって 2 つの表現は一致する。同じ理由のため、スピンの既約表現は Cℓ p,q
ピン表現を分類するためには、クリフォード代数の分類 （英語版 ）
Cℓ 0p,q Cℓ p,q −1q > 0)Cℓ 0p,q Cℓ q,p −1p > 0)そして符号 (p , q − 1) あるいは (q , p − 1) におけるピン表現として符号 (p , q ) におけるスピン表現を実現できる。
外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学 にありそこではそれが滑らかな多様体 上の微分形式 のファイバー束 を定義するために使われる。（擬 ）リーマン多様体 の場合には、接空間 は計量 によって誘導される自然な二次形式を持つ。したがって、外束 （英語版 ） クリフォード束 （英語版 ） リーマン幾何学 においてたくさんの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのはスピン多様体 、その付随するスピノル束 （英語版 ） spinc 多様体へのつながりであろう。
クリフォード代数は物理学においてたくさんの重要な応用を持つ。物理学者は通常クリフォード代数を次の性質を持つディラック行列 と呼ばれる行列 γ 0 , …, γ 3
γ
i
γ
j
+
γ
j
γ
i
=
2
η
i
j
{\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}}
ただし η (1, 3) の二次形式の行列である。これらはちょうど（重要でない因子 2 を除いて）クリフォード代数 Cℓ 1,3 (R )複素化 （英語版 ） Cℓ 1,3 (R )C クリフォード代数の分類 によって複素 4 次行列の代数に同型である。
ディラック行列は最初ポール・ディラック によって、電子 に対する相対論の一階波動方程式を書き、クリフォード代数から複素行列への明示的な同型を与えようとしていた時に、書き下された。結果はディラック方程式 を定義しディラック作用素 を導入するために用いられた。クリフォード代数全体はディラック場双線型 （英語版 ） 場の量子論 において現れる。
量子論を記述するためのクリフォード代数の使用は中でも Mario Schönberg [ 8] geometric calculus の言葉では David Hestenes と Basil Hiley と hierarchy of Clifford algebras の共同研究者によって、そして Elio Conte et al.[ 9] [ 10]
最近、クリフォード代数はコンピュータビジョン における action recognition と分類の問題において応用されている。Rodriguez et al.[ 11] オプティカルフロー のようなベクトル値データに一般化するクリフォード埋め込みを提案する。ベクトル値データは Clifford Fourier Transform を用いて解析される。これらのベクトルに基づいてアクションフィルターはクリフォードフーリエドメインにおいてシンセサイズされアクションの認識は Clifford Correlation を用いて実行される。著者は古典的特徴フィルムとスポーツ報道テレビにおいて典型的に実行されるアクションを認識することによってクリフォード埋め込みの有効性を説明する。
^ 実クリフォード代数を扱い正定値二次形式を好む数学者（特に指数理論 の研究者）は基本的なクリフォード恒等式 (the fundamental Clifford identity) において異なった符号の規約 を用いることがある。つまり、彼らは v 2 = −Q (v )Q を −Q で置き換えなければならない。
^ したがって群環 K [Z /2]半単純 でありクリフォード代数は主対合の固有空間に分解する。
^ Z -次数付けは N 次数付けから負の整数で添え字づけられた零部分空間のコピーを追加することによって得られる。^ 技術的には、指定されたベクトル部分空間なしにはそれはクリフォード代数の完全な構造を持たない。
^ なお標数は 2 でないことを仮定している。
^ 代わりに (−) の規約 を用いるときは、逆に共役がより基本的となる。一般に、共役と転置の意味は一方の符号の規約からもう一方へと移るときに交換される。例えば、ここで使われる慣習ではベクトルの逆は v −1 = v t / Q (v )v −1 = v Q (v )
^ Clifford, W. K. (1873), “Preliminary sketch of bi-quaternions”, Proc. London Math. Soc. 4 : 381–395 ^ Clifford, W. K. (1882), Tucker, R., ed., Mathematical Papers , London: Macmillan ^ 例えば Oziewicz, Z.; Sitarczyk, Sz. (1992), “Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras.”, in Micali, Artibano; Boudet, Roger; Helmstetter, Jacques, Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-1623-1
^ J. M. McCarthy, An Introduction to Theoretical Kinematics , pp. 62–5, MIT Press 1990. ^ O. Bottema and B. Roth, Theoretical Kinematics , North Holland Publ. Co., 1979 ^ See the references to Schönberg's papers of 1956 and 1957 as described in section "The Grassmann–Schönberg algebra
G
n
{\displaystyle G_{n}}
doi :10.1063/1.1386411
^ Conte, Elio (2002). “A Quantum Like Interpretation and Solution of Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox in Quantum Mechanics”. pp. 271– 304. arXiv :0711.2260 quant-ph ]. ^ Elio Conte: On some considerations of mathematical physics: May we identify Clifford algebra as a common algebraic structure for classical diffusion and Schrödinger equations? Adv. Studies Theor. Phys., vol. 6, no. 26 (2012), pp. 1289–1307
^ Rodriguez, Mikel; Shah, M (2008). “Action MACH: A Spatio-Temporal Maximum Average Correlation Height Filter for Action Classification”. Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR) .
ニコラ・ブルバキ (1988), Algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-19373-9 Carnahan, S. Borcherds Seminar Notes, Uncut. Week 5, "Spinors and Clifford Algebras".
Garling, D. J. H., Clifford algebras. An introduction , London Mathematical Society Student Texts, 78 , Cambridge : Cambridge University Press year=2011, ISBN 978-1-107-09638-7 , Zbl 1235.15025 Introduction to Quadratic Forms over Fields , Graduate Studies in Mathematics, 67 , American Mathematical Society , (2005), ISBN 0-8218-1095-2 , MR 2104929 , Zbl 1068.11023 Lawson, H. Blaine; Marie-Louise Michelsohn (1989), Spin Geometry , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5 Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebras and spinors , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-00551-7 Ian R. Porteous (1995), Clifford algebras and the classical groups , Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9 Jagannathan, R., On generalized Clifford algebras and their physical applications , arXiv :1005.4300 Sylvester, J. J., (1882), Johns Hopkins University Circulars I : 241-242; ibid II (1883) 46; ibid III (1884) 7-9. Summarized in The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III .online and further .
