ソディ線
s
{\displaystyle s}
S
o
{\displaystyle S_{o}}
S
i
{\displaystyle S_{i}}
G
{\displaystyle G}
I
{\displaystyle I}
s
i
{\displaystyle s_{i}}
s
o
{\displaystyle s_{o}}
F
{\displaystyle F}
L
{\displaystyle L}
e
{\displaystyle e}
g
{\displaystyle g}
ソディ線 （そでぃせん、英 :Soddy line）とは、二つのソディ円 の中心を結ぶ直線である。フレデリック・ソディ が1936年にネイチャー で、ソディ円のような2円に接する円におけるデカルトの定理 の特別な場合の証明として発表した。
ソディ線は、オイラー線 とはド・ロンシャン点 で交わり、ジェルゴンヌ線 とはフレッチャー点 （Fletcher point）で交わる。また、ソディ線とジェルゴンヌ線は直交 する。フレッチャー点の三線座標 は以下の式で与えられる。
f
(
A
,
B
,
C
)
:
f
(
B
,
C
,
A
)
:
f
(
C
,
A
,
B
)
{\displaystyle f(A,B,C):f(B,C,A):f(C,A,B)}
ただし
f
(
A
,
B
,
C
)
=
(
sec
2
A
2
)
(
2
cos
2
A
2
−
cos
2
B
2
−
cos
2
C
2
)
{\displaystyle f(A,B,C)=(\sec ^{2}{\frac {A}{2}})(2\cos ^{2}{\frac {A}{2}}-\cos ^{2}{\frac {B}{2}}-\cos ^{2}{\frac {C}{2}})}
ソディ線、オイラー線、ジェルゴンヌ線から成る三角形はオイラー・ジェルゴンヌ・ソディ三角形 （Euler-Gergonne-Soddy triangle）と言う[ 1] エヴァンズ点 （Evans point）と呼ばれ[ 2] [ 3]
ソディ線は以下の点を通る。
Central line
ソディ線はX(657)のCentral line であり、三線座標α : β : γ
γ
−
β
(
−
a
+
b
+
c
)
a
+
α
−
γ
(
a
−
b
+
c
)
b
+
β
−
α
(
a
+
b
−
c
)
c
=
0
{\displaystyle {\frac {\gamma -\beta }{(-a+b+c)a}}+{\frac {\alpha -\gamma }{(a-b+c)b}}+{\frac {\beta -\alpha }{(a+b-c)c}}=0}
GEOS円(全体) GEOS円 ソディ線とオイラー線の交点であるド・ロンシャン点、オイラー線と垂軸 の交点であるX(468)、垂軸とジェルゴンヌ線の交点であるX(650)、ジェルゴンヌ線とソディ線の交点であるフレッチャー点は共円 である[ 4] GEOS円 （英語版 ） 根軸 はソディ線である。
垂軸とオイラー線は直交することから、GEOS円の中心X(8142)は、X(650)とド・ロンシャン点の中点にあたり、その三線座標はコンウェイの記法 を用いて以下の式で与えられる[ 4] [ 5]
a
2
S
A
−
S
B
S
C
S
2
−
a
s
a
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
:
b
2
S
B
−
S
C
S
A
S
2
−
b
s
b
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
:
c
2
S
C
−
S
A
S
B
S
2
−
c
s
c
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
{\displaystyle {\frac {a^{2}S_{A}-S_{B}S_{C}}{S^{2}}}-{\frac {as_{a}}{(a-b)(a-c)}}:{\frac {b^{2}S_{B}-S_{C}S_{A}}{S^{2}}}-{\frac {bs_{b}}{(b-c)(b-a)}}:{\frac {c^{2}S_{C}-S_{A}S_{B}}{S^{2}}}-{\frac {cs_{c}}{(c-a)(c-b)}}}
ここでsa ,sb ,sc はそれぞれ半周長 をs としてs-a,s-b,s-c である。これらのことから、ド・ロンシャン点、エヴァンズ点、X(650)、ソディ線と垂軸の交点X(3012)は垂心系 （英語版 ）
Zuming Feng: Why Are the Gergonne and Soddy Lines Perpendicular? A Synthetic Approach . In: Mathematics Magazin , Band 81, Nr. 3, Juni 2008, S. 211-214 (JSTOR )
ロジャー・チャールズ・アルペリン : The Gergonne and Soddy lines . In: Elemente der Mathematik ,. Band 70, Nr. 1, 2015, S. 1-6 (online )
ウィキメディア・コモンズには、
ソディ線 に関連するカテゴリがあります。
Weisstein, Eric W. “Soddy line” . mathworld.wolfram.com (英語). 
