フィンスラー・ハドヴィッガーの定理

ユークリッド幾何学において、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理（フィンスラー・ハドウィガーの定理^[1]、フィンスラー・ハドヴィガーのていり、英: Finsler–Hadwiger theorem）とはポール・フィンスラーとヒューゴ・ハドヴィッガーにちなんで名づけられた、正方形に関する定理である。1937年、ハドヴィッガー・フィンスラー不等式とともに発表された^[2]。

内容

一点 $A$ を共有する正方形 $ABCD$ と $AB'C'D'$ について、 $BD', B'D$ の中点をそれぞれ $E, G$ 、正方形の中心をそれぞれ $F, H$ とする。このとき四角形 $EFGH$ は正方形である^[3]^[4]。

この正方形はフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形（Finsler–Hadwiger square）と呼ばれている^[5]。フィンスラー・ハドヴィッガーの正方形は四角形 $BDB'D'$ のヴァリニョンの平行四辺形で、その同値条件から四角形 $BDB'D'$ は2つの対角線の長さが等しい直交対角線四角形である。

応用

フィンスラー・ハドヴィッガーの定理を繰り返し用いることで、ヴァン・オーベルの定理を証明することができる。任意の四角形 $ABCD$ について、それぞれ $AB, BC$ を一辺とする外側の正方形のフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形、それぞれ $CD, DA$ を一辺とする外側の正方形のフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形はACの中点を共有することを用いることによって示される^[6]。

出典

^ 松本, 昌也、清水, 克彦「ヴァンオーベルの定理を題材にした四角形の性質の探究」『日本科学教育学会研究会研究報告』第38巻第2号、2023年、295–300頁、doi:10.14935/jsser.38.2_295。
^ Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937), “Einige Relationen im Dreieck” (German), Commentarii Mathematici Helvetici 10 (1): 316–326, doi:10.1007/BF01214300, MR 1509584 . See in particular p. 324.
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), “The Finsler–Hadwiger Theorem 8.5”, Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics, Mathematical Association of America, p. 125, ISBN 9780883853481 .
^ “美しい Van Aubel の定理”. 西山豊. 2024年5月10日閲覧。
^ Detemple, Duane; Harold, Sonia (1996), “A round-up of square problems”, Mathematics Magazine 69 (1): 15–27, doi:10.1080/0025570X.1996.11996375, JSTOR 2691390, MR1573131, https://jstor.org/stable/2691390 . See problem 8, pp. 20–21.
^ Detemple & Harold (1996), problem 15, pp. 25–26.