ヴァン・オーベルの定理 （Van Aubel's theorem）とは四角形 に関する幾何学 の定理である。1878年 の、ベルギーの数学者 Henricus Hubertus Van Aubel の発表にちなんで命名された[ 1]
オーベルの定理ともいう。
ヴァン・オーベルの定理の図示。
任意の四角形の各辺に外接する正方形 で、対向する正方形の重心 を結んだ2線分 は、長さが等しく、直交 する。
四角形 ABCD に対して，頂点 A を原点 O とする。ベクトル AB を複素数 2a に、ベクトル BC を複素数 2b に、ベクトル CD を複素数 2c に、ベクトル DA を複素数 2d に対応させる。ここで複素数の係数2は計算上の便宜的なものである。また、正方形の中心については、ベクトル AP を複素数 p に、ベクトル AQ を複素数 q に、ベクトル AR を複素数 r に、ベクトル AS を複素数 s に対応させる。四角形 ABCD は閉じているから、ベクトルを計算すると
2
a
+
2
b
+
2
c
+
2
d
=
0
{\displaystyle 2a+2b+2c+2d=0}
つまり、
a
+
b
+
c
+
d
=
0
{\displaystyle a+b+c+d=0}
となる。この条件で証明することになる。 点 P は点 A から点 B に向かって半分進み、90度方向を変えて半分だけ進むから、複素数 p は、
p
=
a
+
i
a
=
(
1
+
i
)
a
{\displaystyle p=a+ia=(1+i)a}
となる。ここに、i は虚数単位 で、i ² = -1(r , θ ) でも表現され、
i
=
cos
π
2
+
i
sin
π
2
=
exp
(
π
2
i
)
{\displaystyle i=\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}=\exp \left({\frac {\pi }{2}}i\right)}
であるから、a に i をかけるということは半径 r = 1π /2
同様にして、複素数 q,r,s は次のようになる。
q
=
2
a
+
(
1
+
i
)
b
{\displaystyle q=2a+(1+i)b}
r
=
2
a
+
2
b
+
(
1
+
i
)
c
{\displaystyle r=2a+2b+(1+i)c}
s
=
2
a
+
2
b
+
2
c
+
(
1
+
i
)
d
{\displaystyle s=2a+2b+2c+(1+i)d}
点 Q から点 S に向かうベクトルを A 、点 P から点 R に向かうベクトルを B とすると，A は s - q B は r - p
A
=
s
−
q
=
(
b
+
2
c
+
d
)
+
i
(
d
−
b
)
{\displaystyle A=s-q=(b+2c+d)+i(d-b)}
B
=
r
−
p
=
(
a
+
2
b
+
c
)
+
i
(
c
−
a
)
{\displaystyle B=r-p=(a+2b+c)+i(c-a)}
となる。証明すべきは、線分 QS と線分 PR の長さが等しく、互いに直交していることであるから、複素数 A と B の関係が、
B
=
i
A
{\displaystyle B=iA}
を満たすことである。または、この式の両辺に i をかけて整理すると、
A
+
i
B
=
0
{\displaystyle A+iB=0}
となり、この式で証明してもよい。実際に計算すると、
A
+
i
B
{\displaystyle A+iB}
=
(
b
+
2
c
+
d
−
c
+
a
)
+
i
(
d
−
b
+
a
+
2
b
+
c
)
{\displaystyle =(b+2c+d-c+a)+i(d-b+a+2b+c)}
=
(
a
+
b
+
c
+
d
)
+
i
(
a
+
b
+
c
+
d
)
=
0
{\displaystyle =(a+b+c+d)+i(a+b+c+d)=0}
となる。
なお、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理 を用いた証明もある。
四角形の対角線の中点と、ヴァン・オーベルの定理の直交する2線分の中点は共円 である[ 2]
ダオ・タイン・オアイ （Dao Thanh Oai）は、ヤコビの定理 のような形で、直交性を拡張した[ 3]
任意の四角形ABCD について、∠A'AB = ∠A'BA , ∠B'BC = ∠B'CB , ∠C'CD = ∠C'DC , ∠D'DA = ∠D'AD となるように点A', B', C', D' を配置したとき、A'C' ⊥ B'D' Mathematical Gazette では、ひし形 や平行四辺形 への拡張も示されている[ 4] [ 5]
^ Van Aubel, H. (1878), “Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygon quelconque” (French), Nouvelle Correspondance Mathématique 4 : 40–44, https://books.google.com/books?id=10A0AQAAMAAJ&pg=PA40 ^ D. Pellegrinetti: "The Six-Point Circle for the Quadrangle" . International Journal of Geometry , Vol. 8 (Oct., 2019), No. 2, pp. 5–13.
^ Dao Thanh Oai (2016). “Generalizations of some famous classical Euclidean geometry theorems” . IJCDM (3). https://journal-1.eu/2016-3/Dao-Thanh-Oai-Generalizations-pp.12-20.pdf . ^ M. de Villiers: "Dual Generalizations of Van Aubel's theorem" Archived 2021-01-25 at the Wayback Machine .. The Mathematical Gazette , Vol. 82 (Nov., 1998), pp. 405-412.
^ J. R. Silvester: "Extensions of a Theorem of Van Aubel" . The Mathematical Gazette , Vol. 90 (Mar., 2006), pp. 2-12.
