マクネマー検定

マクネマー検定（マクネマーけんてい、McNemar's test）は、統計学において、対応のある名目データに用いられる仮説検定である。 二値変数に関するマッチドペアの2x2分割表に適用され、行と列の限界度数が正しいかどうか（限界均一性があるかどうか）を判定する。1947年に導入したクイン・マクネマーにちなんで名付けられた^[1]。遺伝学における応用例として、連鎖不平衡を検出するための伝達不平衡検定がある^[2]。

医学分野では、主に感度（病気の人を正しく識別する能力）と特異度（病気のない人を正しく識別する能力）によって検査を評価する。同じグループの患者に対して2つのテストを行い、その感度と特異度が同じであれば両方の検査が同等であると考えがちだが、そうではないかもしれない。このため、私たちは病気のある患者と病気のない患者を調査したり、これら2つのテストが一致しない部分を見つけたりする必要がある。これがまさにマクネマーの検定の基礎であり、同じグループの患者に対する2つの診断テストの感度と特異度を比較する^[3]。

この検定は、n 人の被験者の標本に対する 2 つの検査の結果の 2x2分割表に、次のように適用される。

限界均一性の帰無仮説とは、各結果に対する2つの限界確率が同じであるというもので、pa + p_b = pa + p_c かつ p_c + p_d = p_b + p_d に対応する。

したがって、帰無仮説H₀と対立仮説H1は^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&:~p_{b}=p_{c}\\H_{1}&:~p_{b}\neq p_{c}\end{aligned}}}$

ここで、pi (i = a, b, c, d) は、対応するラベルを持つセルでの発生する確率を示す。

マクネマー検定の検定統計量は次の通り。

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {(b-c)^{2}}{b+c}}}$

帰無仮説のもと、検査間で十分な数の不一致（セルbおよびセルcに相当）がある場合、${\displaystyle \chi ^{2}}$ は自由度1のカイ二乗分布となる。もし、この ${\displaystyle \chi ^{2}}$ の結果が有意であれば、帰無仮説が棄却され、p_b ≠ p_c（限界比率が有意に異なる）という対立仮説が支持される。

bやcが小さい場合（b + c < 25）、${\displaystyle \chi ^{2}}$はカイ二乗分布では十分に近似されず^[要出典]、正確二項検定を使用する。ここで、b は、サイズパラメータn = b + c および p = 0.5の二項分布と比較される。b '≥ c'の場合、

${\displaystyle {\text{exact-P-value}}=2\sum _{i=b}^{n}{n \choose i}0.5^{i}(1-0.5)^{n-i},}$

これは、 p = 0.5、n = b + cの二項分布累積分布関数に2を乗じたものである。

エドワーズは、二項の正確なP値を近似するため、連続性を補正した次のバージョンを提案した^[4]。

${\displaystyle \chi ^{2}={(|b-c|-1)^{2} \over b+c}.}$

mid-P マクネマー検定は、正確な片側P値から観察された bの確率の半分を引き、それを2倍して両側の mid-P 値を得ることによって計算される^{[5] [6]}

${\displaystyle {\text{mid-p-value}}=2\left(\sum _{i=b}^{n}{n \choose i}0.5^{i}(1-0.5)^{n-i}-0.5{n \choose b}0.5^{b}(1-0.5)^{n-b}\right)}$

これは次と同等である。

${\displaystyle {\text{mid-p-value}}={\text{exact-p-value}}-{n \choose b}0.5^{b}(1-0.5)^{n-b}}$

ここで、第2項は二項分布の確率質量関数であり、n = b + c である。一般的なソフトウェアパッケージでは、二項分布関数を容易に入手してマクネマーのmid-P検定を簡単に計算することができる^[6]。

従来は、b + c < 25 のときに正確な二項検定を使用べきと言われていた。しかし、シミュレーションによると、正確二項検定と連続性補正を用いたマクネマー検定の両方が過度に保守的であることが示されている^[6]。b + c < 6 のとき、正確P値は常に共通の有意水準0.05を超える。オリジナルのマクネマー検定は最も強力だったが、しばしば僅かに非保守的であった。mid-Pバージョンは、漸近的なマクネマー検定と同じくらい強力で、名目上の有意水準を超えることはなかった。

最初の例では、ある研究者が、ある薬が特定の病気に効果があるかどうかを調べようとしている。表には個人の数が示されており、行には治療前の診断（病気があるかないか）が、列には治療後の示されている。この検定では、前後の測定に同じ被験者を含める必要がある（マッチドペア）。

この例では、「限界均一性」の帰無仮説は、治療の効果がなかったことを意味する。上記のデータから、マクネマー検定統計量は

${\displaystyle \chi ^{2}={(121-59)^{2} \over {121+59}}}$

この値は21.35であり、帰無仮説が意味する分布に従う可能性は極めて低い（ P <0.001）。したがって、この検定は、治療効果がないという帰無仮説を棄却するための強力な証拠となる。

2番目の例は、漸近的マクネマー検定とそれ以外の検定との違いを示す^[6]。データテーブルは先ほどと同様だが、セル内の数字が異なる。

これらのデータでは、サンプルサイズ（161人）は小さくないが、マクネマー検定と他のバージョンでは結果が異なる。正確二項検定ではP = 0.053が得られ、連続性補正を使用したマクネマー検定では ${\displaystyle \chi ^{2}}$ = 3.68、P = 0.055 となる。漸近的なマクネマーの検定では${\displaystyle \chi ^{2}}$= 4.55、P = 0.033となり、mid-P マクネマー検定ではP = 0.035が得られる。

興味深いことに、対角成分は（治療前または治療後のどちらの状態がより好ましいかという）決定に寄与しない。全体の症例数が多くても、b + c が少なければ、統計的検出力が小さくなる。

マクネマー検定を拡張することで、ペア間での独立性が担保されない場合を扱うことができる。ペアデータのクラスタがあり、クラスタ内のペアは独立ではないかもしれないが、異なるクラスタ間では独立性が成り立つ者とする^[7]。例えば、歯科治療の効果を分析する場合、ペアは、複数の歯を治療した患者の個々の歯の治療に対応し、同じ患者の2本の歯の治療の効果は独立ではない可能性が高いが、異なる患者の2本の歯の治療は独立である可能性が高い^[8]。

1970年代には、扁桃腺を温存することでホジキンリンパ腫の予防になるのではないかと考えられていた。ジョン・ライスによると ^[9]

85人のホジキンリンパ腫の患者[...]には、疾病に罹患しておらず、患者との年齢差が5歳以内の同性の兄弟がいた。研究者は次の表を発表した。

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}\hline &{\text{Tonsillectomy}}&{\text{No tonsillectomy}}\\\hline {\text{Hodgkins}}&41&44\\\hline {\text{Control}}&33&52\end{array}}}$

彼らはカイ二乗統計を計算し[...] [彼らは]誤ってペアリングを無視して分析した。[...] [彼らの]兄弟がペアになっているため、サンプルは独立していなかった[...] 我々はペアリングを示す表を作成した。

${\displaystyle {\begin{array}{cc}&{\text{Sibling}}\\{\text{Patient}}&{\begin{array}{c|c|c}\hline &{\text{No tonsillectomy}}&{\text{Tonsillectomy}}\\\hline {\text{No tonsillectomy}}&37&7\\\hline {\text{Tonsillectomy}}&15&26\end{array}}\end{array}}}$

マクネマーの検定を適用できるのは2つ目の表である。 2番目の表の数の合計が85（兄弟のペアの数）であるのに対し、最初の表の数の合計は2倍の170（個人の数）であることに注意。 1つ目の表は2つ目の表の限界値を示しているに過ぎず、2つ目の表の方が情報量が多い。

• 二項符号検定は、マクネマー検定の正確な検定を提供する。
• コクランのQ検定は、3つ以上の「処理」に対するマクネマー検定の拡張である。
• リデルの正確確率検定は、マクネマーの検定の正確な代替手段である^{[10] [11]}。
• スチュアート-マクスウェル検定は、マクネマー検定の異なる一般化であり、2行/列を超える正方形のテーブルの限界均一性を検定するために使用される^{[12] [13] [14]}。
• Bhapkarのテスト（1966）は、スチュアート・マクスウェル検定のより強力な代替手段だが^{[15] [16]}、リベラルな傾向がある。現存する方法の競争力のある代替手段が利用可能。 ^[17]
• マクネマー検定は、コクラン・マンテル・ヘンツェル検定の特殊なケース。これは、Nペアのそれぞれに1つの層があり、各層に、ペアのバイナリ応答を示す2x2テーブルを使用するCMHテストと同等である^[18]。

• ピアソンのカイ二乗検定
• カイ二乗分布

• ヴァサー大学のマクネマー2×2分割表
• 限界均一性のマクネマー検定

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC WBIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
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