三個の平方数の和

この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている^[1]ものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。

自然数${\displaystyle N}$が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、${\displaystyle n\geq 0,k\geq 0,a\in \{1,2,3,5,6\}}$により、${\displaystyle N=4^{n}(8k+a)}$と表されることである。逆に、${\displaystyle N=4^{n}(8k+7)}$で表される自然数は三個の平方数の和で表されない。これはディオファントスの時代から研究されてきた^[1]ことであるが、1798年、ルジャンドルによって証明された。

十分条件の証明は初等的に行うことは可能であるが、二次形式に関する議論を必要とし、複雑である^[2]。必要条件の証明は次に記すとおり、容易である。

${\displaystyle N\equiv 7\;(\operatorname {mod} \;8)}$が三個の平方数の和で表されないことは、${\displaystyle x^{2}\equiv {s\in \{0,1,4\}\;(\operatorname {mod} \;8)}}$から明らかである。仮りに

${\displaystyle N=4^{n}(8k+7)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

と表されるとすれば、${\displaystyle x,y,z}$は全て偶数であるから

${\displaystyle {\begin{aligned}&4^{n}(8k+7)=(2x')^{2}+(2y')^{2}+(2z')^{2}\\&4^{n-1}(8k+7)=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\\\end{aligned}}}$

となり、数学的帰納法により、${\displaystyle N=4^{n}(8k+7)}$は三個の平方数の和で表されない。

${\displaystyle 8N+3}$の形の自然数は高々三個の平方数の和で表されるから

${\displaystyle 8N+3=(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2}}$

${\displaystyle N={\frac {x(x+1)}{2}}+{\frac {y(y+1)}{2}}+{\frac {z(z+1)}{2}}}$

となる整数${\displaystyle x,y,z}$が存在する。故に全ての自然数は高々三個の三角数の和で表される。

全ての自然数は${\displaystyle n\geq 0,k\geq 0,a\in \{1,2,3,5,6,7\}}$として${\displaystyle 4^{k}(8n+a)}$で表される。その中で${\displaystyle a\neq 7}$のものは高々三個の平方数の和で表され、${\displaystyle a=7}$のものは${\displaystyle 4^{k}(8n+6)+(2^{k})^{2}}$として高々四個の平方数の和で表される。従って、全ての自然数は高々四個の平方数の和で表される。なお、四個の平方数の和については初等的な証明（→多角数定理）が知られている。

• 二個の平方数の和
• 3つの立方数の和

1. ^ ^{a b} Wolfram MathWorld: Sum of Squares Function
2. ^ 初等的な証明は例えば Melvyn B. Nathanson, Additive number theory : the classical bases, GTM 164, Springer-Verlag, New York, Tokyo, 1996. の第1章に掲載されている。