三角形の円錐曲線

ユークリッド幾何学において、三角形の円錐曲線または三角形の二次曲線（英:Triangle conic）は三角形に定義される、円錐曲線の総称である。たとえば、外接円や内接円、シュタイナー楕円、キーペルト双曲線が挙げられる。ほかに、それぞれの頂点または対辺ごとに定義される、アルツト放物線のようなものもある^[1]。

三角形の円錐曲線と言う言葉に、明確な定義は存在せず、文献の中で広く使われている（^[2]^[3]^[4]^[5]などを参照）。ギリシャの数学者Paris Pamfilosは「円錐曲線が外接するとは、 $△ ABC$ の頂点3つを通ることであり、円錐曲線が内接するとは3辺に接することである」と述べた^[6]^[7]。三角形の円、楕円、放物線、双曲線（triangle circle,ellipse,parabola,hyperbola）といった言葉も同様に定義された。

Encyclopedia of Triangle CentersやCatalogue of Triangle Cubicsのような、三角形に対する図形の辞典のようなもので、円錐曲線がまとめられているものは2024年現在、存在しない^[8]。

三線座標による式

三線座標 $x : y : z$ を用いて任意の円錐曲線は以下の式で表される。 $rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.$ うち、外接円錐曲線と内接円錐曲線は以下の式で表すことができる。 ${\begin{aligned}&uyz+vzx+wxy=0\\[2pt]&l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}-2mnyz-2nlzx-2lmxy=0\end{aligned}}$

特別な三角形の円錐曲線

以下に有名な円錐曲線を挙げる。基準となる三角形を $△ ABC$ 、頂点及び角を $A, B, C$ 、その対辺をそれぞれ $a, b, c$ 、とする。また、円錐曲線をあらわす三線座標の変数を $x : y : z$ とする。

三角形の円

有名な三角形の円^[9]
No.	名称	定義	等式	図
1	外接円	頂点3つを通る円	${\frac {a}{x}}+{\frac {b}{y}}+{\frac {c}{z}}=0$	$△ ABC$ の外接円
2	内接円	3辺に接する内側の円	$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0$	$△ ABC$ の内接円
3	傍接円	辺の一つとは辺の内部で接し、他2辺とは延長線上で接する円	${\begin{aligned}\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\end{aligned}}$	内接円と傍接円
4	九点円	辺の中点、頂垂線の足、垂心と頂点の中点などを通る円	${\begin{aligned}&x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C\ -\\&2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0\end{aligned}}$	九点円
5	第一ルモワーヌ円	ルモワーヌ点を通り、各辺に平行な線と、他2辺の交点を通る円^[10]		第一ルモワーヌ円

三角形の楕円

有名な三角形の楕円
No.	名称	定義	等式	図
1	シュタイナー外接楕円	$△ ABC$ の頂点を通り、重心を中心に持つ楕円	${\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{by}}+{\frac {1}{cz}}=0$	$△ ABC$ のシュタイナー楕円
2	シュタイナーの内接楕円	各辺と接し、重心を中心にもつ楕円	${\begin{aligned}&a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-\\&2bcyz-2cazx-2abxy=0\end{aligned}}$	$△ ABC$ のシュタイナーの内接楕円

三角形の双曲線

三角形の双曲線
No.	名称	定義	等式	図形
1	キーペルト双曲線	3つの相似な二等辺三角形 $△ XBC$ , $△ YCA$ , $△ ZAB$ , を三角形の同じ側に作ったとき $AX, BY, CZ$ が交わる点の軌跡	${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0$	$△ ABC$ のキーペルト双曲線。垂心 $O$ と重心 $G$ 、頂点 $A, B, C$ を通る。.
2	ジェラベク双曲線	三角形の頂点、垂心、外心を通る双曲線	${\begin{aligned}&{\frac {a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}}+{\frac {b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}}\\[2pt]&+{\frac {c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}}=0\end{aligned}}$	$△ ABC$ のジェラベク双曲線
3	フォイエルバッハ双曲線	三角形の頂点、垂心、内心を通る円	${\begin{aligned}&{\frac {\cos B-\cos C}{x}}+{\frac {\cos C-\cos A}{y}}\\&+{\frac {\cos A-\cos B}{z}}=0\end{aligned}}$	$△ ABC$ のフォイエルバッハ双曲線

三角形の放物線

有名な三角形の放物線
No.	名称	定義	等式	図
1	アルツト放物線^[11]^[12]^[1]	$B, C$ で $AB, AC$ と接する放物線（他2組についても同様）	${\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4yz}{bc}}&=0\\[2pt]{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {4zx}{ca}}&=0\\[2pt]{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-{\frac {4xy}{ab}}&=0\end{aligned}}$	$△ ABC$ のアーツ放物線
2	キーペルト放物線^[13]	3つの相似な二等辺三角形 $△ A'BC$ , $△ AB'C$ , $△ ABC'$ を同じ側に作ったとき、 $△ ABC$ と $△ A'B'C'$ の配景の軸が成す包絡線	${\begin{aligned}&f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-\\[2pt]&2fgxy-2ghyz-2hfzx=0,\\[8pt]&{\text{where }}f=b^{2}-c^{2},\\&g=c^{2}-a^{2},\ h=a^{2}-b^{2}.\end{aligned}}$	$△ ABC$ のキーペルト放物線。 $LMN$ の包絡線である。

三角形の円錐曲線の族

ホフスタッター楕円

ホフスタッター楕円（Hofstadter ellipses）はある媒介変数によってあらわされる楕円の集合である^[14]。 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\left[D(t)+{\frac {1}{D(t)}}\right]+zx\left[E(t)+{\frac {1}{E(t)}}\right]+xy\left[F(t)+{\frac {1}{F(t)}}\right]=0$ ただし $t$ は媒介変数で ${\begin{aligned}D(t)&=\cos A-\sin A\cot tA\\E(t)&=\cos B-\sin B\cot tB\\F(t)&=\cos C-\sin C\cot tC\end{aligned}}$ である。 $t$ と $1 - t$ が表す楕円は等しい。また $t = 1/2$ のとき内接楕円 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy=0$ となり $t \to 0$ とすると外接楕円 ${\frac {a}{Ax}}+{\frac {b}{By}}+{\frac {c}{Cz}}=0.$ となる。

トムソン円錐曲線とダルブー円錐曲線

トムソン円錐曲線（Thomson Conics）は、各辺との接点を通る、各辺の法線が共点である内接円錐曲線の集合である。ダルブ―円錐曲線（Darboux Conics）は頂点での円錐曲線の法線が共点である外接円錐曲線である。双方の共点は、ダルブ―三次曲線上にある^[15]^[16]。

平行線との交点により構成される円錐曲線

$△ABC$ と点 $P$ について、 $P$ を通る $BC,CA,AB$ に平行な線と、他2辺との交点をそれぞれ $X b, X c, Y c, Y a, Z a, Z b$ とする。この6点は同一円錐曲線上にある。特に $P$ が類似重心であるとき円となる。 $P$ の三線座標を $u:v:w$ とすると、6点を通る円錐曲線は以下の式で表される^[17]。 $-(u+v+w)^{2}(bcuyz+cavzx+abwxy)+(ax+by+cz)(vw(v+w)ax+wu(w+u)by+uv(u+v)cz)=0$

九点円錐曲線

→詳細は「九点円錐曲線」を参照

$△ABC$ と点 $P$ について、 $AB,BC,CA,AP,BP,CP$ の中点と、 $AB,CP$ 、 $BC,AP$ 、 $CA,BP$ の交点の計9点を通る円錐曲線を九点円錐曲線（Nine-point conic）という^[18]^[19]^[20]。 $P$ が垂心のとき円（九点円）、重心のとき内接楕円（シュタイナーの内接楕円）となる。

イフ円錐曲線

媒介辺数 $\lambda$ を用いて、 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\lambda (yz+zx+xy)=0,$ で表される円錐曲線をイフ円錐曲線（Yff conics）という^[21] 。任意の点 $P (u : v : w)$ によって $\lambda$ は $\lambda ={\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2(vw+wu+uv)}}.$ で表される。特に放物線（イフ放物線、Yff parabola）の時は $\lambda ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(bc+ca+ab)}}=\lambda _{0}$ である。

$\lambda <\lambda _{0}$ または $\lambda >{\frac {1}{2}}$ のとき楕円、 $\lambda _{0}<\lambda <-1$ のとき双曲線となる。 $-1<\lambda <{\frac {1}{2}}$ のときは、座標平面上には表れない。

ラビノヴィッツ円錐曲線

$△ABC$ と点 $P$ について、同じ向きに $AP//BD//CE,BP//CG//AF,CP//AH//BI$ で、 $AP=AF=AH,BP=BD=BI,CP=CE=CG$ を満たすように点 $D,E,F,G,H,I$ をとると、その6点は同一円錐曲線上にある。これをラビノヴィッツ円錐曲線（Rabinowitz Conics）と言う^[22]。

出典

^ ^a ^b 小倉金之助訳『初等幾何學第2卷空間之部』山海堂、1915年、853頁。doi:10.11501/1082037。
^ Paris Pamfilos (2021). “Equilaterals Inscribed in Conics”. International Journal of Geometry 10 (1): 5–24.
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^ “1. Triangle conics”. Paris Pamfilos home page on Geometry, Philosophy and Programming. Paris Palfilos. 2021年11月11日閲覧。
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