数学 において、単位分数 (たんいぶんすう、unit fraction )とは、分数 として書かれる有理数 のうち、分子 が 1 分母 が自然数 であるものをいう。つまり、自然数 n の逆数 1 / n
1 / 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 1 / 5 である。
エジプト式分数 など、単位分数に制限したときの数の性質がいくつか知られている。
任意の2つの単位分数の積 はまた、単位分数になる。
1
x
×
1
y
=
1
x
y
.
{\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}
しかし、任意の2つの単位分数の和 、差 、商 は一般には単位分数とはならない。
1
x
+
1
y
=
x
+
y
x
y
{\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}
1
x
−
1
y
=
y
−
x
x
y
{\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}
1
x
÷
1
y
=
y
x
.
{\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}
最大公約数 の計算において、合同式の除法の計算を減らすため、単位分数は重要な役目を果たす。具体的には、法を y とし、値 x で除算をしたいとする。x で割るためには、x とy は互いに素 でなければならない。次に、最大公約数のための拡張ユークリッドの互除法 （英語版 ）
a
x
+
b
y
=
1
{\displaystyle \displaystyle ax+by=1}
を満たす a , b が見つかる。それから、
a
x
≡
1
(
mod
y
)
{\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}}
が分かる。あるいは同じことであるが、
a
≡
1
x
(
mod
y
)
{\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}}
である。従って、（y を法として）x によって割るためには、代わりに、a を掛ければよい。
任意の正の有理数は、複数の方法で、単位分数の和として書くことができる。 例えば、
4
5
=
1
2
+
1
4
+
1
20
=
1
3
+
1
5
+
1
6
+
1
10
{\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}}
のようにである。古代エジプト文明では、一般の有理数を表すため、いくつかの単位分数の和を用いた。そのため、そのような和はしばしばエジプト式分数 と呼ばれる[ 1] 数論 の分野において、エジプト式分数に関する数学上の未解決問題 が多く残されていることもあり、研究が行われている。例えば、エルデシュ・シュトラウス予想 やエルデシュ・グラハム予想 （英語版 ） 調和数 は無限に存在するか、などの問題は今なお未解決である。
幾何学的群論 において、三角群 （英語版 ）
多くの知られた無限級数 は、単位分数の項を持つ。例えば以下のようなものがある。
調和級数 は、全ての単位分数の総和 である。これらは発散し、その部分和
1
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dotsb +{\frac {1}{n}}}
である調和数 H n n の自然対数 ln(n ) と同程度の速さである。
ヒルベルト行列 は、以下のように定義された行列である。
B
i
,
j
=
1
i
+
j
−
1
.
{\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}
この行列の逆行列 は、全ての要素が整数である[ 2] Richardson (2001) は以下のように行列を定義した。
C
i
,
j
=
1
F
i
+
j
−
1
,
{\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}
ここでF i は、i 番目のフィボナッチ数 である。彼は、この行列をフィルベルト行列 (Filbert matrix )と呼んだ。これはヒルベルト行列と同じように、逆行列の全ての要素が整数となる[ 3]
二つの分数の差が単位分数となるとき、2つの分数は隣接する (adjacent )という[ 4] [ 5]
離散一様分布 において、全ての確率 は等しい単位分数である。無差別原理 （英語版 ） [ 6] ジップの法則 は出現頻度がn 番目に大きい要素が全体に占める割合が1/n に比例するという経験則を述べる[ 7]
^ Guy, Richard K. (2004), “D11. Egyptian Fractions”, Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2 ^ Choi, Man Duen (1983), “Tricks or treats with the Hilbert matrix”, The American Mathematical Monthly 90 (5): 301–312, doi :10.2307/2975779 , MR 701570 ^ Richardson, Thomas M. (2001), “The Filbert matrix” , Fibonacci Quarterly 39 (3): 268–275, arXiv :math.RA/9905079 , Bibcode : 1999math......5079R , http://www.fq.math.ca/Scanned/39-3/richardson.pdf ^ Adjacent Fraction PlanetMath .（英語） ^ Weisstein, Eric W. "Adjacent Fraction" . mathworld.wolfram.com (英語). ^ Welsh, Alan H. (1996), Aspects of statistical inference , Wiley Series in Probability and Statistics, 246 , John Wiley and Sons, p. 66, ISBN 978-0-471-11591-5 ^ Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009), Theory of Zipf's Law and Beyond , Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 632 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5
