植木算

植木算（うえきざん）とは、算数の文章題において、物を並べていったときに、並べた個数と間の個数の関係をとらえる特殊算の一種である。

概要

木を植える間隔や、植える木の本数、並木の長さなどを求める問題。問題が「木」でないこともよくある。
殆どの問題は、しっかりと数を数えられれば容易に解ける。個々の問題は決して難しくない。
植木算はむしろ、似た問題と混同しないような注意力・観察力が重要とされている（例えば下の例のように、植木が環状なのか直線状なのかなど）。
植木算はそのままでは単なる注意力の喚起を問う問題であるが、平面植木算・空間植木算は鳩の巣原理やオイラーの定理と関連し、その一部であるという側面を持つ。

公式

一直線上に立っていて、両端にもある場合：木の本数＝木の間の数＋1
一直線上に立っていて、両端にない場合：木の本数＝木の間の数－1
円などの周りに立っている場合：木の本数＝木の間の数

これを用いて解く。

例題

例題1

42本の木が7m間隔で植えられている並木道がある。木は道の両側にあるとする。このとき、並木道の長さは何mか。

解法

冷静に考えれば難しくない問題である。

道路の片側にある木の数は、42÷2=21本。
21本の木にある「木の間」の数は20個（ここをしっかり考察することが、植木算の重要な点である）。
7×20=140、ゆえに140mが答である。

例題2

周囲の長さが300mの池の周りに木を植えることにした。5m間隔で植える場合、木は何本必要か。

解法

300÷5=60で、60本が正解となる。

環状になっているものを直線状にしてみよう。300m上に5m間隔で木を植えるので、当然ながら、61本植えることになる。ところがよく考えてほしい。今回は環状なので、始点と終点が重なることになる。よって60本になる。

慣れたら「環状は除法で解ける」としてスピード回答できるが、物事の本質を理解することは極めて重要であり、抜かしてはならない。

例題3

5mの木を1mずつに切り分けたい。1回切るのに5分かかり、1回切るごとに1分休憩すると、何分で切れるか。

解法

2重の植木算になっている。

4回切り、3回休憩するから、5×4+1×3＝23で、答は23分。

別解

仕事算の考え方を理解することで、1段階上に進むことは十分可能であるので、仕事算を用いて説明していくものとする。

仕事算の考え方については、当該項目を参照されたい。まずは仕事量を検討することができる部分とできない部分(今回ならば休憩分)に分けて考えることにする。

前者であるが、今回は4回で全体(仕事量1)に達する。題意に沿うならば、5分で1/4の仕事量になることから、1分で1/20の仕事量になるといえよう。→Ⓐ

後者であるが、休憩すなわち仕事量0となる。

Ⓐより、20分で仕事量1になる。題意より、答は23分^[1](仕事量0の休憩は無視する)。

平面植木算・空間植木算

平面植木算・空間植木算^[要出典]とは広義の植木算の一つである。

直線を分けるのは点であり、平面を分けるのが直線であり、立体（空間）を分けるのが面である。このうち直線を点で分けるのが普通の植木算に当たる。普通の植木算はほとんど自明で、単に注意力を促す問題に過ぎない。しかし広義の植木算がいくつか考えられ、これらは自明とは言い切れない。こうした広義の植木算も合わせて考えなければ、植木算の意味は希薄になろう。