Horvitz–Thompson推定量 （Horvitz–Thompsonすいていりょう）は、層化抽出 された疑似母集団における合計および平均を推定する統計学 的手法であり、Daniel G. Horvitz と Donovan J. Thompson にちなんで名付けられた[ 1] [ 2] 逆確率重み付け を適用する。Horvitz–Thompson推定量は調査 分析に頻繁に適用され、欠測データ などを説明するために用いられる。
Y
i
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle Y_{i}(i=1,2,\cdots ,n)}
N
{\displaystyle N}
n
{\displaystyle n}
μ
{\displaystyle \mu }
π
i
{\displaystyle \pi _{i}}
i
{\displaystyle i}
合計のHansenand-Hurwitz推定量（1943年）は、次式で与えられる[ 3]
Y
^
H
T
=
∑
i
=
1
n
Y
i
π
i
{\displaystyle {\widehat {Y}}_{\mathrm {HT} }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}}{\pi _{i}}}}
平均のHorvitz–Thompson推定量は、次式で与えられる。
μ
^
H
T
=
Y
^
H
T
N
=
1
N
∑
i
=
1
n
Y
i
π
i
{\displaystyle {\widehat {\mu }}_{HT}={\frac {{\widehat {Y}}_{\mathrm {HT} }}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Y_{i}}{\pi _{i}}}}
ベイズの 確率論的枠組みでは、
π
i
{\displaystyle \pi _{i}}
i
{\displaystyle i}
Y
i
/
π
i
{\displaystyle Y_{i}/\pi _{i}}
i
{\displaystyle i}
ブートストラップ ・リサンプリング 推定量の限界値として表すこともできる。多重代入法 の特殊なケースと見なすこともできる[ 4]
層別化後の研究デザインの場合、
π
{\displaystyle \pi }
μ
{\displaystyle \mu }
μ
^
H
T
{\displaystyle {\widehat {\mu }}_{\mathrm {HT} }}
[ 5] R の survey パッケージは、Horvitz–Thompson推定量を使用して層化後データを分析する[ 6]
Horvitz-Thompson推定量の期待値
E
(
X
¯
n
H
T
)
{\displaystyle \mathbb {E} \left({\bar {X}}_{n}^{\mathrm {HT} }\right)}
E
(
X
¯
n
H
T
)
=
E
(
1
N
∑
i
=
1
n
X
I
i
π
I
i
)
=
E
(
1
N
∑
i
=
1
N
X
i
π
i
1
i
∈
D
n
)
=
∑
b
=
1
B
P
(
D
n
(
b
)
)
[
1
N
∑
i
=
1
N
X
i
π
i
1
i
∈
D
n
(
b
)
]
=
1
N
∑
i
=
1
N
X
i
π
i
∑
b
=
1
B
1
i
∈
D
n
(
b
)
P
(
D
n
(
b
)
)
=
1
N
∑
i
=
1
N
(
X
i
π
i
)
π
i
=
1
N
∑
i
=
1
N
X
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left({\bar {X}}_{n}^{\mathrm {HT} }\right)&=\mathbb {E} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathbf {X} _{I_{i}}}{\pi _{I_{i}}}}\right)\\&=\mathbb {E} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}1_{i\in D_{n}}\right)\\&=\sum _{b=1}^{B}P(D_{n}^{(b)})\left[{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}1_{i\in D_{n}^{(b)}}\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}\sum _{b=1}^{B}1_{i\in D_{n}^{(b)}}P(D_{n}^{(b)})\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}\right)\pi _{i}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\\\end{aligned}}}
ここで、
D
n
=
{
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
}
{\displaystyle D_{n}=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}
Hansen-Hurwitz推定量（1943年）は、Horvitz-Thompsonの戦略（1952年）より劣っていることが知られている[ 7]
^ William G. Cochran (1977), Sampling Techniques , 3rd Edition, Wiley. ISBN 0-471-16240-X
^ Horvitz, D. G.; Thompson, D. J. (1952) "A generalization of sampling without replacement from a finite universe", Journal of the American Statistical Association JSTOR 2280784
^ Särndal, Carl-Erik; Swensson, Bengt; Wretman, Jan Hȧkan (1992). Model Assisted Survey Sampling . ISBN 9780387975283 ^ Roderick J.A. Little, Donald B. Rubin (2002) Statistical Analysis With Missing Data , 2nd ed., Wiley. ISBN 0-471-18386-5
^ Quatember, A. (2014). “The Finite Population Bootstrap - from the Maximum Likelihood to the Horvitz-Thompson Approach”. Austrian Journal of Statistics 43 (2): 93–102. doi :10.17713/ajs.v43i2.10 . ^ https://cran.r-project.org/web/packages/survey/ ^ PRABHU-AJGAONKAR, S. G. "Comparison of the Horvitz-Thompson Strategy with the Hansen-Hurwitz Strategy." Survey Methodology (1987): 221. (pdf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left({\bar {X}}_{n}^{\mathrm {HT} }\right)&=\mathbb {E} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathbf {X} _{I_{i}}}{\pi _{I_{i}}}}\right)\\&=\mathbb {E} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}1_{i\in D_{n}}\right)\\&=\sum _{b=1}^{B}P(D_{n}^{(b)})\left[{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}1_{i\in D_{n}^{(b)}}\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}\sum _{b=1}^{B}1_{i\in D_{n}^{(b)}}P(D_{n}^{(b)})\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}\right)\pi _{i}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc0f1c490a5dde0ca026266ad4414068a30526f)
