균등 유계성 원리

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 점별 유계성을 가정하자.

${\displaystyle \forall v\in V\colon \quad \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}<\infty }$

모든 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여

${\displaystyle V_{n}=\{v\in V|\sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}\leq n\}}$

를 정의하자. 이는 닫힌집합이다.

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}=V}$

이므로, 베르 범주 정리에 따라서 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 및 ${\displaystyle v_{0}\in V_{n}}$, ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$가 존재한다.

${\displaystyle \{v\in V|\|v-v_{0}\|\leq \epsilon \}\subset V_{n}}$

그렇다면 임의의 ${\displaystyle v\in V}$ (${\displaystyle \|v\|_{V}\leq 1}$) 및 ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$에 대하여

${\displaystyle \epsilon \|Tv\|_{W}=\left\|T(v_{0}+\epsilon v)-Tv_{0}\right\|_{W}\leq \left(\|T(v_{0}+\epsilon v)\|_{W}+\|Tv_{0}\|_{W}\right)\leq 2n}$

이다. 따라서

${\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2n/\epsilon <\infty }$

이며, 즉 점별 유계성은 균등 유계성을 함의한다.

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 균등 유계성이 성립하지 않는다고 하자.

${\displaystyle \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}=\infty }$

그렇다면,

${\displaystyle \|T_{i}\|\geq 4^{i}}$

인 작용소 열 ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {T}}}$를 고를 수 있다. 이제,

${\displaystyle v_{0}=0}$

${\displaystyle \|v_{i}-v_{i-1}\|\leq 3^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \|T_{i}v_{i}\|\geq {\frac {2}{3}}3^{-i}\|T_{i}\|\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}$

인 벡터 열 ${\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subset V}$를 고르자. 이는 코시 열이므로, ${\displaystyle v\in V}$로 수렴한다. 그렇다면

${\displaystyle \|v-v_{i}\|\leq {\frac {1}{2}}3^{-n}}$

이므로

${\displaystyle \|T_{i}v\|\geq {\frac {1}{6}}3^{-i}\|T_{i}\|\geq {\frac {1}{6}}(4/3)^{i}\to \infty }$

이다. 따라서 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$는 점별 유계가 아니다.