단순환

환론에서 단순환(單純環, 영어: simple ring)은 비자명 아이디얼을 갖지 않는 비자명 환이다. 군론에서의 단순군(정규 부분군을 갖지 않는 군)에 대응되는 개념이다.

(곱셈 항등원을 갖는) 환 ${\displaystyle R}$가 다음 두 성질을 만족시킨다면, ${\displaystyle R}$를 단순환이라고 한다.

• ${\displaystyle R\neq \{0\}}$이다. 즉, 자명환이 아니다.
• ${\displaystyle R}$의 모든 (양쪽) 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\{0\}}$이거나 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=R}$이다. 즉, 영 아이디얼을 제외한 진 아이디얼을 갖지 않는다.

단순환 ${\displaystyle A}$의 중심 ${\displaystyle \operatorname {Z} (A)}$은 항상 체이다. (이는 임의의 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, ${\displaystyle a\neq 0}$이라면 주 아이디얼 ${\displaystyle (a)=A}$이므로 ${\displaystyle a}$가 가역원이기 때문이다.) 체 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수 ${\displaystyle A}$ 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을 ${\displaystyle K}$ 위의 중심 단순 대수(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다.

• ${\displaystyle A}$는 단순환이다.
• ${\displaystyle \dim _{K}A}$는 유한하다. 즉, ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 단위 결합 대수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Z} (A)=K}$이다. 즉, 중심이 정확하게 ${\displaystyle K}$이다.

즉, 모든 아르틴 단순환은 스스로의 중심 위의 중심 단순 대수를 이룬다.

극대 아이디얼에 대한 몫환은 단순환이다. 특히, 모든 체나 나눗셈환은 단순환이다.

어떤 환 ${\displaystyle R}$에 대한 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}$의 아이디얼은 ${\displaystyle R}$의 아이디얼과 일대일 대응하므로, 단순환에 대한 행렬환은 단순환이며, 비단순환에 대한 행렬환은 비단순환이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 단순 대수 ${\displaystyle A}$와 중심 단순 대수 ${\displaystyle B}$가 주어졌다고 하자. 스콜렘-뇌터 정리(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 임의의 두 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수 준동형

${\displaystyle f,g\colon A\to B}$

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역원 ${\displaystyle b\in \operatorname {Unit} (B)}$이 존재한다.

${\displaystyle g(a)=bf(a)b^{-1}\qquad \forall a\in A}$

특히, 중심 단순 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형 ${\displaystyle a\mapsto bab^{-1}}$이다.

단순환에 대하여 왼쪽 아르틴 환 및 오른쪽 아르틴 환 조건이 서로 동치이다. 아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)에 따르면, 왼쪽 아르틴 환 또는 오른쪽 아르틴 환인 단순환 ${\displaystyle R}$는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.^{[1]:154, Theorem 5.3}

${\displaystyle R\cong \operatorname {Mat} (n;D)}$

여기서 ${\displaystyle D}$는 나눗셈환이며, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n,D)}$는 환 ${\displaystyle D}$에 대한 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬환이다. 또한, 이러한 표현은 유일하다. 즉, ${\displaystyle D}$와 ${\displaystyle n}$은 유일하게 결정된다. 구체적으로, ${\displaystyle R}$가 왼쪽 아르틴 환이라고 하자. ${\displaystyle R}$는 단순환이므로 충실한 단순 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$을 갖는다. 슈어 보조정리에 의하여 ${\displaystyle D=\operatorname {End} (_{R}M)}$은 나눗셈환이며, 왼쪽 아르틴 환 조건에 의하여 ${\displaystyle _{D}M}$는 항상 유한 차원 자유 가군이며, 제이컵슨 조밀성 정리에 의하여 ${\displaystyle R\cong \operatorname {End} (_{D}M)}$이다. 즉, ${\displaystyle n=\dim _{D}M}$으로 놓으면, ${\displaystyle R\cong \operatorname {Mat} (n;D)}$이며, 또한 ${\displaystyle _{R}R\cong {}_{R}M^{\oplus n}}$이다.

만약 ${\displaystyle R}$가 오른쪽 아르틴 환인 경우에도 마찬가지 구성을 사용할 수 있다.

따라서, 아르틴 단순환의 분류는 그 중심체 위의 유한 차원 나눗셈환의 분류로 귀결된다. 이는 체 ${\displaystyle K}$의 브라우어 군으로 결정된다.

모든 체와 모든 나눗셈환은 단순환이다.

바일 대수 ${\displaystyle K\langle x,p\rangle /(xp-px-1)}$는 단순환이다. 그러나 이는 왼쪽 아르틴 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니며, 따라서 아르틴-웨더번 정리에 해당하지 않는다.

자명환은 정의에 따라 단순환이 아니다.

1927년에 토랄프 스콜렘은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며,^[2] 1933년에 에미 뇌터가 독자적으로 재발견하였다.^{[3][4]:189, §5}

• Henderson, D. W. (1965). “A short proof of Wedderburn’s theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 72 (4): 385-386. doi:10.2307/2313499. JSTOR 2313499. 
• Nicholson, W. Keith (1993). “A short proof of the Wedderburn-Artin theorem” (PDF). 《New Zealand Journal of Mathematics》 (영어) 22: 83–86. 2014년 8월 12일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 8월 9일에 확인함. 

• “Simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Brauer group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Simple ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Brauer group”. 《nLab》 (영어).