데데킨트 정역

대수 구조
군 관련 범주  · 마그마  · 반군  · 모노이드  · 준군  · 아벨 군  · 위상군  · 리 군
환 관련 유사환  · 가환환  · 정역  · 데데킨트 정역  · 유일 인수 분해 정역  · 주 아이디얼 정역  · 유클리드 정역  · 위상환
체 관련 나눗셈환  · 체  · 순서체  · 대수적 수체
가군 관련 아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간
대수 관련 등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군
격자 관련 반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수
v t e

가환대수학에서 데데킨트 정역(Dedekind整域, 영어: Dedekind domain) 또는 데데킨트 환(Dedekind環, 영어: Dedekind ring)은 아이디얼의 소인수 분해가 유일한 정역이다.

${\displaystyle R}$가 정역이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 데데킨트 정역이라고 한다.

• 0이 아닌 모든 진 아이디얼이 소 아이디얼로 유일하게 인수 분해가 가능하다. 즉, 모든 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\neq \{0\},R}$에 대하여,

${\displaystyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in F({\mathfrak {a}})}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {a}}}$

인 유한 중복집합 ${\displaystyle F({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spec} R}$가 존재하며, 또한 이러한 중복집합은 유일하다.

• ${\displaystyle R}$는 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 주 아이디얼 정역이다.
• ${\displaystyle R}$는 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 체이거나 이산 값매김환이다.
• ${\displaystyle R}$는 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이며, 크룰 차원이 0 또는 1이다.
• 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역원이다.
• 뇌터 환이며, 프뤼퍼 정역이다.
• 크룰 정역이며, 크룰 차원이 0 또는 1이다.
• 유전환이다.

마지막 조건은 대수기하학적으로 비특이 아핀 대수 곡선을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

정역 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 프뤼퍼 정역(영어: Prüfer domain)이라고 한다.

• ${\displaystyle R}$의 영 아이디얼이 아닌 모든 유한 생성 아이디얼은 (분수 아이디얼로서) 가역원이다.
• 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에 대하여, ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$는 값매김환이다.
• 모든 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에 대하여, ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$은 값매김환이다.
• ${\displaystyle R}$의 모든 유한 생성 아이디얼은 ${\displaystyle R}$-사영 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 모든 유한 생성 아이디얼은 ${\displaystyle R}$-평탄 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 평탄 가군의 모든 부분 가군은 평탄 가군이다.
• 반유전환이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

또한, 모든 데데킨트 정역은 뇌터 가환환이다.

${\displaystyle R}$가 데데킨트 정역이고, ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$가 그 분수체이며, ${\displaystyle L/\operatorname {Frak} (R)}$가 그 유한 차원 확대라 하자. 크룰-아키즈키 정리에 따르면, ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle L}$ 안에서의 정수적 폐포는 데데킨트 정역이다.^{[1]:45, Proposition 8.1}

아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 데데킨트 정역 ${\displaystyle R}$의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle R}$는 유일 인수 분해 정역이다.
• ${\displaystyle R}$는 주 아이디얼 정역이다.
• ${\displaystyle R}$의 아이디얼 유군이 자명군이다.
• ${\displaystyle R}$의 유수가 1이다.

데데킨트 정역에서는 분수 아이디얼에 대해서도 유일 인수 분해가 성립한다. 즉, 임의의 분수 아이디얼은 R의 소 아이디얼들과 그 역 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.

데데킨트 정역에서 모든 0이 아닌 아이디얼은 유일한 소인수 분해를 가지므로, 아이디얼의 포함 관계는 아이디얼의 인자 관계와 일치한다. 즉, 임의의 두 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\neq 0}$이라면 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}\iff {\mathfrak {b}}\mid {\mathfrak {a}}}$

임의의 가환환에서 아이디얼의 인자 관계는 포함 관계를 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

특히, 체가 아닌 데데킨트 정역에서, 0이 아닌 모든 소 아이디얼의 개념은 극대 아이디얼의 개념과 일치한다. 이는 소 아이디얼은 인자 관계에 대한 극대 원소인데, 반대로 극대 아이디얼은 포함 관계에 대한 극대 원소이기 때문이다. 이는 크룰 차원이 1이라는 것과 같다. (체에서는 물론 (0)이 소 아이디얼이자 극대 아이디얼이다.)

• 모든 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이다.
  • 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$나, 체 ${\displaystyle K}$에 대한 1변수 다항식환 ${\displaystyle K[x]}$는 주 아이디얼 정역이므로 데데킨트 정역이다.
  • 모든 체는 데데킨트 정역이다. 체에서는 0이 아닌 진 아이디얼이 없으므로, 이 경우는 자명한 경우이다.
• 모든 대수적 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이다.
  • 예를 들어, 허수 이차 수체의 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$은 데데킨트 정역이지만, ${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$이므로 유일 인수 분해 정역이 아니다.

대수적 수체의 대수적 정수환에서는 일반적으로 산술의 기본정리가 성립하지 않는다. 즉, 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이 사실은 1844년에 에른스트 쿠머가 특정 원분체에 대하여 발견하였다. 1847년에 에른스트 쿠머는 대신 대수적 정수환의 오늘날 우리가 "아이디얼"이라고 부르는 대상에 대해서는 유일 인수 분해가 성립함을 보였다.^[2] 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 주 아이디얼 정역이므로, 자연수 ${\displaystyle n}$과 이에 대응하는 주 아이디얼 ${\displaystyle (n)}$의 구분이 없다. 그러나 일반적인 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$에서는 주 아이디얼이 아닌 아이디얼이 존재하며, 따라서 기존의 수(=주 아이디얼)로 구성되었던 수 체계에 모든 아이디얼들을 추가하면 다시 유일 소인수 분해가 성립한다. 이러한 관점에서 쿠머는 이러한 대상들을 수의 일반화로 간주하였고, 독일어: Idealzahl 이데알찰^[*]이라고 이름붙였다. 이는 독일어: ideal 이데알^[*](이상적인) + 독일어: Zahl 찰^[*](수)의 합성어이다. 오늘날 사용되는 분수 아이디얼의 개념도 이와 같이 아이디얼을 수의 일반화로 간주한 관점에서 유래하였다.

이후 리하르트 데데킨트는 쿠머의 "이데알찰"을 사실 대수적 정수환의 어떤 부분 집합으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다.^[3] 이는 오늘날의 관점과 같다. 이 때문에 데데킨트는 쿠머의 "이데일찰"을, "찰"(수)을 제거한 독일어: Ideal 이데알^[*]로 불렀다.

훗날 대수적 정수환의 개념이 일반적인 추상적 (가환)환으로 일반화되면서, 모든 가환환, 심지어 모든 정역에서도 아이디얼들의 유일 소인수 분해가 성립하지 않을 수 있다는 것이 밝혀졌다. 이에 따라, 쿠머와 데데킨트가 대수적 정수환에서 증명한 바와 같이, 아이디얼의 유일 소인수 분해가 존재하는 정역은 데데킨트 정역이라고 불리게 되었다.

• Bourbaki, Nicolas (1972). 《Commutative algebra》 (영어). Addison-Wesley. 

• “Dedekind ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dedekind ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.