린델뢰프 공간

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일반위상수학에서 린델뢰프 공간(Lindelöf空間, 영어: Lindelöf space)은 콤팩트 공간의 유한 부분 열린 덮개 조건을 가산 개의 부분 덮개 조건으로 약화시킨 조건을 만족시키는 위상 공간이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle L({\mathcal {U}})}$를 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 부분 덮개의 최소 크기인 기수라고 하자.

${\displaystyle L({\mathcal {U}})=\min _{{\mathcal {U}}'\subseteq {\mathcal {U}}}^{\bigcup {\mathcal {U}}'=X}|{\mathcal {U}}'|}$

(기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이 최솟값은 항상 존재한다.) 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 린델뢰프 수(Lindelöf數, 영어: Lindelöf number) ${\displaystyle L(X)}$는 모든 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$에 대한 ${\displaystyle L({\mathcal {U}})}$의 상한이다.

${\displaystyle L(X)=\sup _{{\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {T}}(X)}^{\bigcup {\mathcal {U}}=X}L({\mathcal {U}})}$

린델뢰프 수가 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 이하인 위상 공간을 린델뢰프 공간(영어: Lindelöf space)이라고 한다. 즉, 린델뢰프 공간은 모든 열린 덮개가 가산 부분 덮개를 갖는 위상 공간이다.^[1]:192

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

제2 가산 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

이 밖에도, 린델뢰프성은 다른 위상 공간 성질과 다음과 같은 함의 관계를 갖는다.

• 린델뢰프 가산콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• (모리타 정리 영어: Morita’s theorem) 정칙 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^[1]:257[2]
• 제1 가산 공간인 위상군이 린델뢰프 공간이면 제2 가산 공간이다.^[1]:195
• 거리화 가능 공간의 경우, 린델뢰프 공간, 분해 가능 공간, 제2 가산 공간은 모두 동치인 개념이다.
• 린델뢰프 국소 콤팩트 공간은 반콤팩트 공간이다.

• 린델뢰프 공간의 닫힌 집합은 린델뢰프 집합이다.^[1]:194
• 린델뢰프 공간의 연속적 상은 린델뢰프 공간이다. 즉, 린델뢰프 공간 ${\displaystyle X}$과 위상 공간 ${\displaystyle Y}$ 사이에 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 존재한다면, ${\displaystyle f}$의 치역 ${\displaystyle f(X)}$는 린델뢰프 공간이다.^[1]:194
• 콤팩트 공간과 린델뢰프 공간의 곱공간은 린델뢰프 공간이다.^[1]:194

린델뢰프 공간에 대하여, 티호노프 정리가 성립하지 않는다. 즉, 린델뢰프 공간들의 곱공간이 항상 린델뢰프 공간이 되는 것은 아니다.

조르겐프라이 직선의 스스로에 대한 곱공간을 조르겐프라이 평면이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 완전 정규 하우스도르프 린델뢰프 파라콤팩트 공간이지만, 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다. 따라서 린델뢰프 공간에 대하여 티호노프 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다.

핀란드의 수학자 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)가 도입하였다.

• Tall, Franklin D. (2011). “Set-theoretic problems concerning Lindelöf spaces” (영어). arXiv:1104.2796. Bibcode:2011arXiv1104.2796T. 

• “Lindelöf space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lindelöf number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Weakly Lindelöf spaces”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 2014년 2월 28일. 2015년 12월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 12월 1일에 확인함.