분해 가능 공간

일반위상수학에서 분해 가능 공간(分解可能空間, 영어: separable space)은 가산 집합이 조밀 집합일 수 있을 정도로 작은 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$ 의 밀도(密度, 영어: density) $d(X)$ 는 $X$ 속의 조밀 집합의 최소 크기인 기수이다. (기수 위의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

밀도가 $\aleph _{0}$ 이하인 위상 공간을 분해 가능 공간이라고 한다.^[1]^:192 즉, 분해 가능 공간은 가산 조밀 집합을 갖는 공간이다.

성질

제2 가산성과의 관계

모든 제2 가산 공간은 분해 가능 공간이다.^[1]^:192

제1 가산 공간인 위상군에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^:195

분해 가능 공간이다.
제2 가산 공간이다.

거리화 가능성을 가정한다면, 다음이 성립한다.

콤팩트 공간

\subsetneq

^[1]^:194 제2 가산 공간 = 분해 가능 공간 = 린델뢰프 공간^[1]^:191–192

분해 가능성을 보존하는 연산

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 및 조밀 집합 $D\subseteq X$ 이 주어졌을 때, 그 상 $f(D)\subseteq f(X)$ 는 치역 $f(X)$ 속의 조밀 집합이다. 따라서

d(f(X))\leq d(X)

이다. 특히, 분해 가능 공간의 연속적 상은 분해 가능 공간이다.^[1]^:194

위상 공간 $X$ 의 열린집합 $U\subseteq X$ 및 조밀 집합 $D\subseteq X$ 가 주어졌을 때, $U\cap D$ 는 $U$ 의 조밀 집합이다. 따라서 다음이 성립한다.

d(U)\leq d(X)

특히, 분해 가능 공간의 열린집합은 분해 가능 공간이다.^[2]^{:Theorem 16.4b} 분해 가능 공간의 열린집합이 아닌 부분 집합은 분해 가능 공간이 아닐 수 있다. 다만, 분해 가능 거리화 가능 공간의 모든 부분 집합은 분해 가능 공간이다.

곱공간

X=\prod _{i\in I}X_{i}

및 무한 기수 $\kappa$ 가 주어졌다고 하자. 휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리(영어: Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem)에 따르면, 만약

d(X_{i})\leq \kappa \qquad (\forall i\in I)

|I|\leq 2^{\kappa }

라면,

d(X)\leq \kappa

이다. 특히, $2^{\aleph _{0}}$ 개 이하의 분해 가능 공간들의 곱공간은 분해 가능 공간이다.^[1]^:194^[2]^{:109, Theorem 16.4c} 곱위상 대신 상자 위상을 사용하는 경우 이 명제들은 더 이상 성립하지 않는다.

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리의 증명:^[3]^{:81, Theorem 2.3.15}

편의상 $|I|=2^{\kappa }$ 라고 하자. (나머지 경우는 이 경우에서 연속적 상을 취한다.) 크기가 $\kappa$ 이하인 조밀 집합 $D_{i}\subseteq X_{i}$ 들의 곱집합 $\textstyle D=\prod _{i\in I}D_{i}\subseteq X$ 는 조밀 집합이다. 따라서, $D$ 의 크기 $\kappa$ 이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 이제, $Y$ 가 크기 2의 이산 공간이라고 하고, $Z^{Y^{\kappa }}$ 가 $2^{\kappa }$ 개의 크기 $\kappa$ 의 이산 공간 $Z$ 들의 곱공간이라고 하자. 그렇다면 전사 연속 함수

Z^{Y^{\kappa }}\to D

가 존재한다. 따라서 $Z^{Y^{\kappa }}$ 에서 크기 $\kappa$ 이하의 조밀 집합을 찾으면 족하다. 곱공간 $Y^{\kappa }$ 는 크기 $\kappa$ 이하의 기저 ${\mathcal {B}}$ 를 가진다 (예를 들어, 표준적인 기저의 크기는 $\kappa$ 이다). 이제,

A\subseteq Z^{Y^{\kappa }}

가 다음 두 조건을 만족시키는 유한 개의 서로소 집합들의 집합 $\{B_{1},\dots ,B_{n}\}\subset {\mathcal {B}}$ 가 존재하는 원소

f\in Z^{Y^{\kappa }}

들의 집합이라고 하자.

각 $f|_{B_{i}}\colon B_{i}\to Z$ 는 상수 함수이다.
$f|_{Y^{\kappa }\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})}\colon Y^{\kappa }\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})\to Z$ 는 상수 함수이다.

그렇다면, $A\subseteq Z^{Y^{\kappa }}$ 가 조밀 집합이며, $|{\mathcal {B}}|\leq \kappa$ 이므로 $|A|\leq \kappa$ 이다.

크기 관련 성질

모든 비이산 공간은 분해 가능 공간이므로, 분해 가능성은 집합의 크기에 상한을 가하지 않는다. 그러나 추가 조건을 가한다면 다음과 같은 상한을 얻을 수 있다.

제1 가산 하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이다.
하우스도르프 분해 가능 공간의 크기는 $2^{2^{\aleph _{0}}}$ 이하이다.

또한, 분해 가능성은 다음과 같은 다양한 크기 관련 상한들을 함의한다.

분해 가능 공간 속의 서로소 열린집합들로 구성된 집합족은 항상 가산 집합이다.^[1]^:194
분해 가능 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 위의 실수 값 연속 함수의 집합의 크기는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이다.
${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )\leq 2^{\aleph _{0}}$

이는 실수 값 연속 함수는 이를 조밀 집합에 국한한 함수로부터 결정되기 때문이다. 이에 따라, 정규 분해 가능 공간 속의 닫힌집합이 이산 공간을 이룬다면, 이는 항상 가산 집합이다.

임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 분해 가능 공간 ${\tilde {X}}$ 및 단사 함수 $\iota \colon X\hookrightarrow {\tilde {X}}$ 를 찾을 수 있다.^[4]^:49

$|X|=|{\tilde {X}}|$ 이며, ${\tilde {X}}\setminus \iota (X)$ 는 가산 집합이다.
$X$ 는 그 상 $\iota (X)$ 와 위상 동형이다.
만약 $X$ 가 하우스도르프 공간이라면, ${\tilde {X}}$ 역시 하우스도르프 공간이다.

힐베르트 공간

(실수 또는 복소수) 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

${\mathcal {H}}$ 의 힐베르트 차원이 $\aleph _{0}$ 이하이다. (힐베르트 차원은 벡터 공간의 하멜 차원과 일반적으로 다르다.)
${\mathcal {H}}$ 는 분해 가능 공간이다.

특히, 모든 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 및 L² 공간 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 는 분해 가능 공간이다. 유클리드 공간의 경우 $\mathbb {Q} ^{n}\subsetneq \mathbb {R} ^{n}$ 은 가산 조밀 집합을 이룬다. 힐베르트 공간은 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류되므로, 이는 분해 가능 힐베르트 공간의 목록이다.

예

임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여 다음이 자명하게 성립한다.

d(X)\leq |X|

따라서, 가산 개의 점을 갖는 위상 공간은 분해 가능 공간이다.

이산 공간 속의 조밀 집합은 전체밖에 없으므로, 이산 공간 $X$ 의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

|X|=d(X)

특히, 가산 이산 공간은 분해 가능 공간이지만, 비가산 이산 공간은 분해 가능 공간이 아니다. 비이산 공간에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다. 따라서, 비이산 공간 $X$ 의 밀도는 다음과 같다.

d(X)=\min\{1,|X|\}

따라서, 모든 비이산 공간은 자명하게 분해 가능 공간이다.

역사

휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리는 랠프 필립 보애스 주니어(영어: Ralph Philip Boas Jr., 1912~1992),^[5] 에드윈 휴잇(영어: Edwin Hewitt, 1920~1999),^[6] 에드바르트 마르체프스키(폴란드어: Edward Marczewski, 1907~1976, $\kappa =\aleph _{0}$ )^[7]가 독자적으로 증명하였다. E. S. 폰디체리(영어: E. S. Pondiczery)는 보애스가 이 논문에서 사용한 필명이며, 인도의 지명 퐁디셰리에서 유래한다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
↑ ^가 ^나 Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581.
↑ Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.
↑ Sierpiński, Wacław (1952). 《General topology》. Mathematical Expositions (영어) 7. University of Toronto Press. MR 0050870.
↑ Pondiczery, E. S. (1944). “Power problems in abstract spaces”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 11: 835–837. doi:10.1215/S0012-7094-44-01171-3. ISSN 0012-7094. MR 0011104. Zbl 0060.39601.
↑ Hewitt, Edwin (1946). “A remark on density characters”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 52: 641–643. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08613-9. ISSN 0002-9904. MR 0017329. Zbl 0060.39602.
↑ Marczewski, Edward (1947). “Separabilité et multiplication cartesienne des espaces topologiques”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 34: 127–143. doi:10.4064/fm-34-1-127-143. ISSN 0016-2736. MR 0021680. Zbl 0032.19104.