맥스웰-볼츠만 통계

통계역학
제2법칙에 따른 엔트로피의 증가
열역학 열역학 법칙 (제1 · 제2 · 제3) 열역학 퍼텐셜 (엔트로피  · 내부 에너지 · 엔탈피 · 헬름홀츠 · 기브스 · 큰 퍼텐셜)  · 맥스웰 관계식 상태 방정식 · 이상 기체 (보일-샤를의 법칙 · 이상 기체 법칙)  · 반반데르발스 상태 방정식
통계역학 맥스웰-볼츠만 통계 · 분배 함수 · 특성 상태 함수 앙상블 (작은 바른틀 · 바른틀 · 큰 바른틀)
상전이와 임계 현상 기화  · 끓음  · 융해  · 응축 증발  · 증착  · 삼중점  · 임계점 클라우지우스-클라페롱 관계 란다우 이론  · 평균장 이론
양자통계역학 보스-아인슈타인 통계 · 보스 기체 보스-아인슈타인 응축 · 디바이 모형 (포논)  · 아인슈타인 모형 페르미-디랙 통계 · 애니온 · 페르미 기체 · 페르미 준위 · 페르미 표면 · 띠구조
강자성과 격자 모형 퀴리 온도 · 이징 모형 · 포츠 모형 · 하이젠베르크 스핀 사슬 · 최소 모형
초유체와 초전도체 헬륨-4 · 헬륨-3 · 그로스-피타옙스키 방정식 런던 방정식 · 긴즈부르크-란다우 이론 · BCS 이론
과학자 기브스 · 긴즈부르크 · 디랙 · 디바이 · 란다우 · 랑주뱅 · 맥스웰 · 보골류보프 · 보스 · 아인슈타인 · 이징 · 온사게르 · 줄 · 볼츠만 · 카다노프 · 카디 · 카라테오도리 · 카르노 · 켈빈 · 퀴리 · 클라우지우스 · 클라페롱 · 판데르 발스 · 페르미 · 헬름홀츠
v t e

통계역학에서 맥스웰-볼츠만 통계(Maxwell–Boltzmann statistics)는 양자 효과를 감안하기에는 미미할 정도로 온도가 높고 밀도가 낮은 경우에 한해 열적 평형 상태에서 다양한 입자의 통계적 분포를 설명한다.

각 상태에 있는 모든 알갱이 수에 대하여 합하여야만 한다. 즉 각 r에 대해서 ${\displaystyle n_{r}=0,1,2,3,\dots }$ 인데 고정된 총 알갱이 수에 대해 다음의 제한식을 따라야만 한다.

${\displaystyle \sum _{i}N_{i}=N\,}$

그런데 알갱이는 구별할 수 있는 것으로 또한 생각을 한다. 그러므로 다른 상태에 있는 두 알갱이의 어떤 순열은 비록 수 ${\displaystyle \{n_{1},n_{2},n_{3},\dots \}}$는 바뀌지 않은 채로 남아 있지만 기체 전체의 구별되는 상태로 세어야만 한다. 이것은 각 한-알갱이 상태에 얼마나 많은 알갱이가 있는가를 명시하는 것이 충분하지 못해서가 아니라, 어느 상태에 있는 알갱이가 있는가를 명시하는 것이 필요하기 때문에 그렇다.

${\displaystyle Z_{G}^{MB}=\prod _{k=1}^{\infty }\exp(ze^{-\beta \epsilon _{k}})}$

여기서 ${\displaystyle z=e^{\beta \mu }}$이다.

큰 분배함수는 다음과 같이 증명할 수 있다.

${\displaystyle Z_{G}^{MB}=\sum _{n_{k}}{\frac {1}{n_{1}!n_{2}!\cdots }}(e^{-\beta (\epsilon _{1}-\mu )})^{n_{1}}(e^{-\beta (\epsilon _{2}-\mu )})^{n_{2}}\cdots }$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{n_{k}=0}^{\infty }{\frac {1}{n_{k}!}}e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )^{n_{k}}}}$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{n_{k}=0}^{\infty }{\frac {1}{n_{k}!}}(ze^{-\beta \epsilon _{k}})^{n_{k}}}$

${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\infty }exp(ze^{-\beta \epsilon _{k}})}$

맥스웰-볼츠만 통계에 따르면, 상태 i에 놓여 있는 입자의 점유수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}}$

${\displaystyle N_{i}}$ : 상태 i에 놓인 입자의 점유수

${\displaystyle \epsilon _{i}}$ : 상태 i에서의 에너지

${\displaystyle g_{i}}$ : 상태 i에서의 겹침

μ : 화학 퍼텐셜

k : 볼츠만 상수

T : 절대온도

N : 총 입자수

${\displaystyle N=\sum _{i}N_{i}\,}$

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