모스 호몰로지

미분위상수학에서 모스 호몰로지(영어: Morse homology)는 콤팩트 매끄러운 다양체의 호몰로지를 그 위의 실수 값 함수를 통해 구성하는 방법이다.^[1][2] 다양체의 위상을 실수 값 함수를 통해 분석하는 이론인 모스 이론의 일부이다.

콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 임의의 리만 계량 ${\displaystyle g}$와 모스 함수 ${\displaystyle f}$를 정의하자. 이 경우 그 기울기 벡터장 ${\displaystyle \nabla f\in \Gamma (TM)}$을 정의할 수 있다. 각 임계점 ${\displaystyle x\in M}$에 대하여, ${\displaystyle \nabla f}$의 안정 부분 공간(stable subspace) ${\displaystyle W^{\text{s}}(x)}$과 불안정 부분 공간(unstable subspace) ${\displaystyle W^{\text{u}}(x)}$을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단 교차(transversal intersection)한다면 (즉, 모든 ${\displaystyle y\in W^{\text{s}}(x)\cap W^{\text{u}}(x)}$에서 ${\displaystyle T_{y}M=T_{y}W^{\text{s}}(x)\oplus T_{y}W^{\text{u}}(x)}$이라면) 순서쌍 ${\displaystyle (g,f)}$를 모스-스메일 함수(Morse-Smale函數, 영어: Morse–Smale function)라고 한다.^[3] 이는 마스턴 모스와 스티븐 스메일의 이름을 딴 것이다.

${\displaystyle f}$의 기울기 흐름(영어: gradient flow)은 ${\displaystyle f}$의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle x_{j}}$ 사이의 기울기 흐름들의 모듈라이 공간 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(x_{i},x_{j})}$을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 모스 지표의 차의 절댓값과 같다.

${\displaystyle \dim {\mathcal {F}}(x_{i},x_{j})=|\gamma (x_{i})-\gamma (x_{j})|}$

모스-스메일 함수 ${\displaystyle (g,f)}$가 주어진 콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에, 모스 사슬 복합체(Morse사슬複合體, 영어: Morse chain complex) ${\displaystyle C_{i}(M)}$는 모스 지표가 ${\displaystyle i}$인 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 그 위에 정의된 경계 연산자

${\displaystyle \partial _{i}\colon C_{i}(M)\to C_{i-1}(M)}$

는 ${\displaystyle x_{i}\in C_{i}(M)}$을 ${\displaystyle x_{i}}$로부터 시작하는 ${\displaystyle f}$의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 호몰로지

${\displaystyle H_{\text{M}}(M)=\ker \partial _{i}/\operatorname {im} \partial _{i+1}}$

를 모스 호몰로지라고 한다. 이는 모스-스메일 함수의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론(특이 호몰로지, 세포 호몰로지 등)과 일치함을 보일 수 있다.

모스 호몰로지는 초대칭 양자역학과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 드람 코호몰로지와 호지 이론을 사용하여 재정의할 수 있다.^[4][5] 이는 에드워드 위튼이 발견하였고,^[6] 모스-위튼 코호몰로지(영어: Morse–Witten cohomology)라고 불린다.

모스 함수 ${\displaystyle f}$가 주어진 콤팩트 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.

${\displaystyle d_{t}=\exp(-tf)d\exp(tf)}$

${\displaystyle d_{t}^{\dagger }=\exp(-tf)d^{\dagger }\exp(tf)}$

${\displaystyle \Delta _{t}=d_{t}d_{t}^{\dagger }+d_{t}^{\dagger }d_{t}}$

그렇다면 ${\displaystyle \Delta _{t}}$의 고윳값에 따라, ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle k}$차 미분 형식들의 공간 ${\displaystyle \Omega ^{k}}$을 다음과 같이 분해할 수 있다.

${\displaystyle \Omega ^{k}=\bigoplus _{\lambda }\Omega _{\lambda }^{k}(t)}$

${\displaystyle \Delta _{t}\alpha =\lambda \alpha \forall \alpha \in \Omega _{\lambda }^{k}(t)}$

이 경우, ${\displaystyle t=0}$일 때 호지 이론에 따라서

${\displaystyle \Omega _{0}^{k}(0)\cong H_{\text{dR}}^{k}(M)}$

이다. 여기서 ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\bullet }}$은 드람 코호몰로지다. 반면, ${\displaystyle t\to \infty }$로 보내자. 그렇다면 ${\displaystyle \Omega _{0}^{k}(\infty )}$는 모스 지표가 ${\displaystyle k}$인 임계점 근처에 국소화된 ${\displaystyle k}$차 미분형식들로 이루어진 기저를 가진다. 즉,

${\displaystyle \dim \Omega _{0}^{k}(\infty )=N_{k}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle N_{k}}$는 모스 지표가 ${\displaystyle k}$인 임계점들의 개수다.

이 경우, 다음과 같은 모스-위튼 복합체(Morse-Witten複合體, 영어: Morse–Witten complex)가 존재한다.

${\displaystyle \Omega _{0}^{1}(\infty ){\xrightarrow {d_{\infty }}}\Omega _{0}^{1}(\infty ){\xrightarrow {d_{\infty }}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega _{0}^{k}(\infty ){\xrightarrow {d_{\infty }}}\Omega _{0}^{k+1}(\infty ){\xrightarrow {d_{\infty }}}\cdots }$

여기서 공경계 연산자 ${\displaystyle d_{\infty }}$는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다. 이 복합체의 코호몰로지는 드람 코호몰로지와 일치하며, 모스-위튼 코호몰로지라고 한다.

이는 ${\displaystyle M}$을 과녁 공간으로 갖는 초대칭 시그마 모형으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

기호	수학적 설명	물리학적 설명
${\displaystyle C^{\infty }(M;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 함수들	${\displaystyle M}$ 위의 보손들의 힐베르트 공간
${\displaystyle \Omega ^{k}(M)\otimes \mathbb {C} }$	${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle k}$차 미분 형식들의 공간	페르미온 수가 ${\displaystyle k}$인 상태들의 힐베르트 공간
${\displaystyle d\colon \Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$	외미분	초대칭 연산자의 하나
${\displaystyle d^{\dagger }\colon \Omega ^{k+1}(M)\to \Omega ^{k}(M)}$	외미분의 수반(adjoint)	초대칭 연산자의 하나
${\displaystyle \Delta =dd^{\dagger }+d^{\dagger }d}$	라플라스-벨트라미 연산자	자유 입자의 해밀토니언
${\displaystyle \Omega _{0}^{k}(\infty )}$	모스 지표가 ${\displaystyle k}$인 임계점들로 생성되는 벡터 공간	페르미온 수가 ${\displaystyle k}$인 섭동적 초대칭 바닥 상태들의 힐베르트 공간
${\displaystyle d_{\infty }^{k}\colon \Omega _{0}^{k}(\infty )\to \Omega _{0}^{k+1}(\infty )}$	모스-위튼 복합체의 공경계 연산자	순간자로 매개되는 터널 효과
${\displaystyle H_{\text{MW}}^{k}=\ker d_{\infty }^{k}/\operatorname {im} d_{\infty }^{k-1}}$	모스-위튼 코호몰로지 군	참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 힐베르트 공간

마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 1934년에 도입하였다.^[7]

1950년대에, 라울 보트는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 모스-보트 이론(Morse-Bott理論, 영어: Morse–Bott theory)을 도입하였고, 이를 사용하여 위상 K이론의 보트 주기성(영어: Bott periodicity)을 증명하였다.^[8][9][10]

1982년에 에드워드 위튼은 모스 이론을 초대칭 양자역학을 사용하여 재정의하였다. 이를 모스-위튼 이론(Morse-Witten理論, 영어: Morse–Witten theory)이라고 한다.^[6] 1988년에 안드레아스 플뢰어(독일어: Andreas Floer)는 함수 공간에서의 모스 코호몰로지를 사용하여, 심플렉틱 다양체 및 3차원 다양체에 대한 플뢰어 호몰로지를 정의하였다.

• 초대칭 양자역학
• 플뢰어 호몰로지

• “Morse-Smale system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Morse homology”. 《nLab》 (영어).