리만 다양체

미분기하학에서 리만 다양체(Riemann多樣體, 영어: Riemannian manifold)는 각 점의 접공간 위에 양의 정부호 쌍선형 형식이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체이다. 이 구조를 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 평행 운송 · 각도 · 길이 · 부피 · 곡률 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 미분기하학의 분야를 리만 기하학(Riemann幾何學, 영어: Riemannian geometry)이라고 한다.

${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 공변접다발 ${\displaystyle T^{*}M}$의 2차 대칭승 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$ 벡터 다발을 생각하자. 이는 접다발의 대칭승 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}TM}$의 쌍대 다발과 같다. 이 벡터 다발은 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle n(n+1)/2}$차원 벡터 다발이다.

${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$의 매끄러운 단면은 ${\displaystyle M}$의 각 점 ${\displaystyle x\in M}$에서의 접공간 ${\displaystyle T_{x}M}$ 위에 쌍선형 형식을 정의한다. ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}TM}$은 ${\displaystyle (TM)^{\otimes 2}}$의 몫공간이므로, 그 쌍대 다발인 ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$은 ${\displaystyle (T^{*}M)^{\otimes 2}}$의 부분 공간이 된다. 따라서${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$의 매끄러운 단면은 ${\displaystyle M}$ 위의 (0,2)-텐서장 (${\displaystyle (T^{*}M)^{\otimes 2}}$의 매끄러운 단면)으로 생각할 수 있다.

${\displaystyle M}$ 위의, ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M}$의 매끄러운 단면 ${\displaystyle g\in \Gamma (\operatorname {Sym} ^{2}T^{*}M)}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle g}$를 ${\displaystyle M}$ 위의 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 한다.

• (양의 정부호성) 임의의 ${\displaystyle x\in M}$ 및 ${\displaystyle X\in T_{x}M}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle X\neq 0}$이라면 ${\displaystyle g(X,X)>0}$

리만 계량을 갖춘 매끄러운 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$를 리만 다양체라고 한다.

두 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g_{M})}$, ${\displaystyle (N,g_{N})}$ 사이의 등거리 변환(영어: isometric map)은 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to N}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in M}$ 및 ${\displaystyle X,Y\in T_{x}M}$에 대하여, ${\displaystyle g_{N}(df(X),df(Y))=g_{M}(X,Y)}$

여기서 ${\displaystyle df(X)\in T_{f(x)}N}$는 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle f}$에 대한 밂이다.

모든 매끄러운 다양체에는 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다. 물론, 이는 표준적이지 않다.

내시 매장 정리(영어: Nash embedding theorem)에 따라, 모든 연결 리만 다양체는 충분히 높은 차원의 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$으로의 등거리 매장을 갖는다. 즉, 리만 다양체는 내재적으로 정의하는 대신 항상 외재적으로 유클리드 공간의 부분 공간으로 여길 수 있다. 물론, 리만 다양체 자체의 데이터는 유클리드 공간으로의 매장을 포함하지 않는다.

연결 리만 다양체 위에는 자연스럽게 거리 공간의 구조가 주어진다. [모든 (하우스도르프 파라콤팩트) 다양체는 거리화 가능 공간이지만, 리만 계량과 같은 구조가 없다면 거리 함수를 표준적으로 정의할 수 없다.]

구체적으로, 연결 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 매끄러운 곡선

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M}$

의 길이는 다음과 같다.

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt\in [0,\infty )}$

곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 매끄러운 함수 ${\displaystyle s\colon [0,1]\to [0,1]}$에 대하여, ${\displaystyle L(\gamma \circ s)=L(\gamma )}$이다.

임의의 두 점 ${\displaystyle x,y\in M}$ 사이의 거리(영어: distance)는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다.

${\displaystyle d(x,y)=\inf _{\gamma \colon [0,1]\to M}^{\gamma (0)=x,\;\gamma (1)=y}L(\gamma )}$

이는 거리 함수의 조건들을 모두 만족시킴을 보일 수 있으며, 추가로 길이 거리 공간을 이룬다.

연결 공간이 아닌 리만 다양체의 경우, 각 연결 성분 위에 (유한한) 거리를 정의할 수 있지만, 서로 다른 연결 성분 위에 있는 두 점 사이의 거리는 무한대가 된다.

리만 기하학에서는 다음과 같은 하이네-보렐 정리가 성립한다. 연결 리만 다양체 ${\displaystyle M}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle M}$은 콤팩트 공간이다.
• ${\displaystyle M}$은 완비 거리 공간이며, (거리 공간으로서의) 지름이 유한하다.

 이 부분의 본문은 레비치비타 접속입니다.

리만 계량을 사용하여, 접다발 위에 레비치비타 접속이라는 아핀 접속을 정의할 수 있다. 이는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 접속이다.

• 벡터의 평행 운송은 리만 계량에 대한 길이를 보존한다.
• 비틀림이 0이다.

리만 다양체의 리만 곡률은 레비치비타 접속의 곡률이다. 리만 곡률 텐서장을 축약하여 리치 곡률 · 바일 곡률 · 스칼라 곡률 · 아인슈타인 텐서를 정의할 수 있다.

 이 부분의 본문은 측지선입니다.

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에는 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 (매개 변수화를 무시하면) 국소적으로 두 점 사이의 거리를 최소화하는 곡선이다.

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ · 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ · 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$은 모두 리만 다양체를 이룬다.

반단순 리 군의 경우, 킬링 형식은 양의 정부호이므로 리만 계량을 이룬다. 따라서 반단순 리 군의 경우 표준적으로 리만 다양체를 이룬다.

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g_{M})}$과 그 속의 몰입된 부분 다양체 ${\displaystyle \iota \colon N\hookrightarrow M}$가 주어졌다면, ${\displaystyle M}$ 위에 리만 계량을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle g_{M}(X,Y)=g_{M}(d\iota (X),d\iota (Y))\qquad \forall x\in N,\;X,Y\in T_{x}N}$

여기서 ${\displaystyle d\iota (X)\in T_{\iota (x)}N}$는 ${\displaystyle X}$의 밂이다. 따라서 ${\displaystyle (M,g_{M})}$은 리만 다양체를 이룬다.

3차원 공간 속에, 다음과 같은 꼭짓점을 제거한 원뿔을 생각하자.

${\displaystyle \{(x,y,z)\colon x^{2}+y^{2}=z^{2},\;z>0\}}$

이는 확장 불가능 리만 다양체를 이룬다. (꼭짓점을 추가하면 특이점이 생기게 되어 리만 다양체를 이루지 못한다.) 그러나 이는 완비 다양체가 아니다. 꼭짓점을 향하는 측지선은 유한한 시간 안에 꼭짓점에 도달하여, 더 이상 연장할 수 없게 된다.

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• 준 리만 다양체
• 핀슬러 다양체
• 매끄러운 다양체
• 필바인
• 라플라스-벨트라미 연산자
• 리만 곡률 텐서
• 홀로노미

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