모함수 (물리학)

이 문서는 해밀턴 역학에서 좌표 변환에 쓰이는 함수에 관한 것입니다. 조합론에서 쓰이는 생성함수(generating function)에 대해서는 생성함수 (수학) 문서를 참고하십시오.

해밀턴 역학에서 모함수(母函數, generating function)는 두 개의 일반화 좌표간의 정준변환을 연결해주는 함수이다.

기존의 일반화 좌표 ${\displaystyle \{p_{i},q_{i},t\}}$로부터 정준변환에 의한 새로운 좌표 ${\displaystyle \{P_{i},Q_{i},t\}}$가 해밀턴 방정식의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 해밀턴의 원리를 만족하면 된다.

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-{\hat {H}}(P_{i},Q_{i},t)+{dF \over dt}\right]dt=0}$

여기서 ${\displaystyle {\hat {H}}}$는 새로운 좌표로 기술된 해밀토니언이고 ${\displaystyle F}$는 임의의 함수이다. 여기서 ${\displaystyle F}$에 관계된 항은, 적분하면 경로의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 변분하면 없어지게 된다. 따라서, 최종적으로 얻는 해밀턴 방정식은 ${\displaystyle F}$에 관계없는 식이 된다. 따라서 ${\displaystyle F}$를 자유롭게 선택할 수 있는데, 이 함수를 모함수라 한다.

그런데 좌표변환 관계식

${\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(p_{i},q_{i},t)}$

${\displaystyle P_{i}=P_{i}(p_{i},q_{i},t)}$

에 의해 위의 식이 제약이 되기 때문에 ${\displaystyle F}$를 완전 자유롭게 선택할 수는 없게 된다. 위 제약에서 자유롭게 되기 위해서는 서로 독립적인 변수를 사용하여야 한다. 두 종류의 식에 의해 제약이 되므로 모함수가 선택할 수 있는 좌표는 ${\displaystyle \{q_{i},Q_{i},t\}}$ , ${\displaystyle \{q_{i},P_{i},t\}}$ , ${\displaystyle \{p_{i},Q_{i},t\}}$ 또는 ${\displaystyle \{p_{i},P_{i},t\}}$ 중 하나이다.

기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.

종	모함수의 꼴	모함수의 미분
1종	${\displaystyle F=F_{1}(q_{i},Q_{i},t)\,\!}$	${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{i}}}}$ , ${\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}}}$
2종	${\displaystyle F=F_{2}(q_{i},P_{i},t)-QP\,\!}$	${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial q_{i}}}}$ , ${\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial P_{i}}}}$
3종	${\displaystyle F=F_{3}(p_{i},Q_{i},t)+qp\,\!}$	${\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p_{i}}}}$ , ${\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q_{i}}}}$
4종	${\displaystyle F=F_{4}(p_{i},P_{i},t)+qp-QP\,\!}$	${\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p_{i}}}}$ , ${\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial F_{4}}{\partial P_{i}}}}$

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