바이어슈트라스 에타 함수

바이어슈트라스 에타 함수(Weierstrass Eta Function) ${\displaystyle \eta \;}$는

홀함수(odd function)의 성질을 갖는 바이어슈트라스 제타 함수(Weierstrass Eta Function)${\displaystyle \zeta (z)}$와

짝함수(even function)의 성질을 갖는 바이어슈트라스 타원 함수를 연관 시킬때,

${\displaystyle \wp (z+2\omega _{1})=\wp (z)}$로 부터

${\displaystyle \zeta (z+2\omega _{1})=\zeta (z)+2\eta _{1}}$에서,

보여지는 특수 함수이다.

${\displaystyle z=-\omega _{1}}$를 예약하면,

${\displaystyle \zeta (z)+2\eta _{1}=\zeta (-\omega _{1})+2\eta _{1}}$

${\displaystyle \zeta (-\omega _{1})+2\eta _{1}=-\zeta (\omega _{1})+2\eta _{1}}$ 이고,

그리고,

${\displaystyle \zeta (z+2\omega _{1})=\zeta (z)+2\zeta (\omega _{1})=\zeta (-\omega _{1})+2\zeta (\omega _{1})}$

따라서,

${\displaystyle \zeta (-\omega _{1})+2\zeta (\omega _{1})=-\zeta (\omega _{1})+2\eta _{1}}$

${\displaystyle -\zeta (\omega _{1})+2\zeta (\omega _{1})=-\zeta (\omega _{1})+2\eta _{1}}$

${\displaystyle -\zeta (\omega _{1})+\zeta (\omega _{1})+2\zeta (\omega _{1})=2\eta _{1}}$

${\displaystyle 2\zeta (\omega _{1})=2\eta _{1}}$

${\displaystyle \zeta (\omega _{1})=\eta _{1}}$

따라서,

${\displaystyle \eta _{1}=\zeta (\omega _{1})}$

그리고 또한,

${\displaystyle \zeta (z+2\omega _{2})=\zeta (z)+2\eta _{2}}$에서,

${\displaystyle z=-\omega _{2}}$를 예약하면,

${\displaystyle \zeta (z)+2\eta _{2}=\zeta (-\omega _{2})+2\eta _{2}}$

${\displaystyle \zeta (-\omega _{2})+2\eta _{2}=-\zeta (\omega _{2})+2\eta _{2}}$ 이고,

그리고,

${\displaystyle \zeta (z+2\omega _{2})=\zeta (z)+2\zeta (\omega _{2})=\zeta (-\omega _{2})+2\zeta (\omega _{2})}$

따라서,

${\displaystyle \zeta (-\omega _{2})+2\zeta (\omega _{2})=-\zeta (\omega _{2})+2\eta _{2}}$

${\displaystyle -\zeta (\omega _{2})+2\zeta (\omega _{2})=-\zeta (\omega _{2})+2\eta _{2}}$

${\displaystyle -\zeta (\omega _{2})+\zeta (\omega _{2})+2\zeta (\omega _{2})=2\eta _{2}}$

${\displaystyle 2\zeta (\omega _{2})=2\eta _{2}}$

${\displaystyle \zeta (\omega _{2})=\eta _{2}}$

따라서,

${\displaystyle \eta _{2}=\zeta (\omega _{2})}$

바이어슈트라스 에타 함수는 데데킨트 에타 함수, 디리클레 에타 함수와 다른 함수이므로 혼동하지 않게 주의해야 한다.

바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수^[1]

${\displaystyle \eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}={1 \over 2}\pi i\qquad }$

${\displaystyle \omega _{2}={{\Gamma ^{3}\left({1 \over 3}\right)} \over {4\pi }}}$

${\displaystyle \qquad =1.529954037....\qquad (OEISA064582)\qquad \Gamma (z)}$는 감마 함수

${\displaystyle \omega _{1}={1 \over 2}\omega _{2}\left(1+i{\sqrt {3}}\right)}$

${\displaystyle \qquad ={{\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\Gamma ^{3}\left({1 \over 3}\right)} \over {8\pi }}}$

${\displaystyle \qquad =0.764977....+(1.32497903....)i}$${\displaystyle \qquad (OEISA094961,A094962)}$

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