아이젠슈타인 정수

수론에서 아이젠슈타인 정수(영어: Eisenstein integer)는 아래의 꼴로 표현될 수 있는 복소수를 말한다. 독일의 수학자 고트홀트 아이젠슈타인의 이름이 붙어 있다.

${\displaystyle z=a+b\omega \qquad (a,b\in \mathbb {Z} )}$

여기서 ${\displaystyle \omega }$는 1의 세제곱근이다.

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

아이젠슈타인 정수는 원분체 ${\displaystyle \mathbb {Q} [\omega ]}$의 대수적 정수환이며, 유클리드 정역을 이룬다. 그 가역원군은 6개의 원소를 가지는 순환군이며, 다음과 같다.

${\displaystyle \{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}}$

아이젠슈타인 정수들은 유클리드 정역이므로, 유일 소인수분해를 가진다. 이에 따른 소수들을 아이젠슈타인 소수(영어: Eisenstein prime)라고 한다. 이들은 다음과 같다. (편의상, 통상적인, 즉 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$에서의 소수를 유리소수라고 하자.)

아이젠슈타인 정수 ${\displaystyle z=a+b\omega }$가 아이젠슈타인 소수일 필요충분조건은 다음과 같다.

1. ${\displaystyle z}$는 가역원과 ${\displaystyle p\equiv 2{\pmod {3}}}$인 유리소수 ${\displaystyle p}$의 곱과 같거나,
2. 아니면 ${\displaystyle |z|^{2}=a^{2}-ab+b^{2}}$는 유리소수이다. (이 경우 항상 ${\displaystyle |z|^{2}\equiv 0,1{\pmod {3}}}$이다.)

따라서, 아이젠슈타인 소수의 목록은 다음과 같다.

• 갈리지 않는 (유리소수인) 아이젠슈타인 소수.

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, … (OEIS의 수열 A3627)

• 실수가 아닌 아이젠슈타인 소수

2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω, …

유리소수이지만 아이젠슈타인 소수가 아닌 수들은 다음과 같다.

3 = −(1 + 2ω)², 7 = (3 + ω)(2 − ω), … (OEIS의 수열 A7645)

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Eisenstein integer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Eisenstein prime”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

• 가우스 정수
• 이차 정수

이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다.