추상대수학 에서 반환 (半環, 영어 : semiring , rig )은 환 과 유사하지만 덧셈의 역원이 존재하지 않는 대수 구조 이다. 즉, 덧셈에 대하여 가환 모노이드 를, 곱셈에 대하여 모노이드 를 이루며, 분배 법칙 이 성립하는 대수 구조 이다.
반환 (영어 : semiring )
(
R
,
0
,
+
,
1
,
⋅
)
{\displaystyle (R,0,+,1,\cdot )}
대수 구조 이다.
(
R
,
0
,
+
)
{\displaystyle (R,0,+)}
(덧셈의 결합 법칙 ) 모든 원소
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
(
r
+
s
)
+
t
=
r
+
(
s
+
t
)
{\displaystyle (r+s)+t=r+(s+t)}
(덧셈의 교환 법칙 ) 모든 원소
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r,s\in R}
r
+
s
=
s
+
r
{\displaystyle r+s=s+r}
(덧셈의 항등원) 모든 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
+
0
=
r
{\displaystyle r+0=r}
(
R
,
1
,
⋅
)
{\displaystyle (R,1,\cdot )}
모노이드 를 이룬다.
(곱셈의 결합 법칙 ) 모든 원소
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
(
r
s
)
t
=
r
(
s
t
)
{\displaystyle (rs)t=r(st)}
(곱셈의 항등원) 모든 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
1
=
1
r
=
r
{\displaystyle r1=1r=r}
(분배 법칙 ) 모든 원소
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
r
(
s
+
t
)
=
r
s
+
r
t
{\displaystyle r(s+t)=rs+rt}
(
s
+
t
)
r
=
s
r
+
t
r
{\displaystyle (s+t)r=sr+tr}
(0과의 곱) 모든 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
0
r
=
r
0
=
0
{\displaystyle 0r=r0=0}
유사 반환 (영어 : pseudo-semiring , hemiring )
(
R
,
0
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (R,0,+,\cdot )}
대수 구조 이다.
(
R
,
0
,
+
,
−
)
{\displaystyle (R,0,+,-)}
모노이드 를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
(덧셈의 결합 법칙 ) 모든 원소
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
(
r
+
s
)
+
t
=
r
+
(
s
+
t
)
{\displaystyle (r+s)+t=r+(s+t)}
(덧셈의 교환 법칙 ) 모든 원소
r
,
s
∈
R
{\displaystyle r,s\in R}
r
+
s
=
s
+
r
{\displaystyle r+s=s+r}
(덧셈의 항등원) 모든 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
+
0
=
r
{\displaystyle r+0=r}
(
R
,
⋅
)
{\displaystyle (R,\cdot )}
반군 을 이룬다.
(곱셈의 결합 법칙 ) 모든 원소
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
(
r
s
)
t
=
r
(
s
t
)
{\displaystyle (rs)t=r(st)}
(분배 법칙 ) 모든 원소
r
,
s
,
t
∈
R
{\displaystyle r,s,t\in R}
r
(
s
+
t
)
=
r
s
+
r
t
{\displaystyle r(s+t)=rs+rt}
(
s
+
t
)
r
=
s
r
+
t
r
{\displaystyle (s+t)r=sr+tr}
(0과의 곱) 모든 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
0
r
=
r
0
=
0
{\displaystyle 0r=r0=0}
환 또는 유사환 의 정의에서,
0
r
=
r
0
=
0
{\displaystyle 0r=r0=0}
유사환 )의 다른 공리들로부터 유도되므로 따로 명시하지 않아도 된다. 그러나 (유사) 반환의 경우 이 조건을 따로 명시해야만 한다.
모든 환 은 반환을 이루며, 모든 유사환 은 유사 반환을 이룬다.
자연수 의 집합
N
=
{
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}
은 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 반환을 이룬다. 임의의 양의 정수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
{
0
}
∪
{
n
,
n
+
1
,
n
+
2
,
…
}
{\displaystyle \{0\}\cup \{n,n+1,n+2,\dots \}}
환
R
{\displaystyle R}
양쪽 아이디얼 들의 집합은 아이디얼의 덧셈과 곱셈에 대하여 반환을 이룬다. 이 경우 덧셈 항등원은 영 아이디얼
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
R
{\displaystyle R}
모든 유계 분배 격자 (예를 들어, 불 대수 )는 만남과 이음을 통하여 반환을 이룬다. 이 경우, 덧셈을 만남으로, 곱셈을 이음으로 삼거나, 또는 곱셈을 만남으로, 덧셈을 이음으로 삼아 두 개의 반환 구조를 줄 수 있다. 덧셈이 만남일 경우 덧셈 항등원은 최소 원소
⊥
{\displaystyle \bot }
최대 원소
⊤
{\displaystyle \top }
⊤
{\displaystyle \top }
⊥
{\displaystyle \bot }
