연속 함수 의 이론에서, 함수 의 불연속점 (不連續點, 영어 : point of discontinuity )은 연속점이 아닌, 정의역 속의 점이다. 함수의 불연속점의 집합은 이산 집합 이거나 조밀 집합 일 수 있으며, 함수의 정의역 전체일 수 있다. 불연속점을 연속이 실패하는 원인이 무엇인지에 따라 분류할 수 있다. 일부 종류의 불연속점은 자연스럽게 연속점이 되게 메워줄 수 있으며, 일부는 그럴 수 없다.
실수 함수의 경우를 생각하자. 대략, 불연속점은 좌극한과 우극한 의 존재 여부에 따라 제1종 불연속점 (第一種不連續點, 영어 : point of discontinuity of the first kind )과 제2종 불연속점 (第二種不連續點, 영어 : point of discontinuity of the second kind )으로 분류된다. 제1종 불연속점은 좌극한과 우극한이 일치하는지에 따라 제거 가능 불연속점 (除去可能不連續點, 영어 : point of removable discontinuity )과 비약 불연속점 (飛躍不連續點, 영어 : point of jump discontinuity )으로 분류되며, 제2종 불연속점은 무한대인 좌극한이나 우극한이 있는지에 따라 무한 불연속점 (無限不連續點, 영어 : point of infinite discontinuity )과 진동 불연속점 (震動不連續點, 영어 : point of oscillating discontinuity )으로 분류된다.
구체적으로, 정의역이 실수 열린구간
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
공역 이 실수 집합
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
불연속점
a
∈
I
{\displaystyle a\in I}
제1종 불연속점 이라고 한다.
(좌·우극한 존재)
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)}
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)}
없앨 수 있는 불연속점 제1종 불연속점
a
∈
I
{\displaystyle a\in I}
a
{\displaystyle a}
제거 가능 불연속점 또는 없앨 수 있는 불연속점 이라고 한다.
(좌·우극한 일치)
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\lim _{x\to a^{+}}f(x)}
(극한 존재)
lim
x
→
a
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}
(제거 가능)
f
|
I
∖
{
a
}
=
g
|
I
∖
{
a
}
{\displaystyle f|_{I\setminus \{a\}}=g|_{I\setminus \{a\}}}
g
:
I
→
R
{\displaystyle g\colon I\to \mathbb {R} }
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 제거 가능 불연속점이다.
f
(
x
)
=
{
x
2
x
<
1
0
x
=
1
2
−
x
x
>
1
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&x<1\\0&x=1\\2-x&x>1\end{cases}}}
제거 가능 불연속점은 함수의 재정의를 통해 연속점으로 만들 수 있다. 예를 들어, 위 함수를 다음과 같이 재정의하자.
f
(
1
)
=
1
{\displaystyle f(1)=1}
그렇다면, 1은 새로운 함수의 연속점이 된다.
비약 불연속성 제1종 불연속점
a
∈
I
{\displaystyle a\in I}
비약 불연속점 또는 뜀 불연속점 이라고 한다.
(좌·우극한 불일치)
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
≠
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to a^{+}}f(x)}
(극한 부재)
lim
x
→
a
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 비약 불연속점이다.
f
(
x
)
=
{
x
2
x
<
1
0
x
=
1
2
−
(
x
−
1
)
2
x
>
1
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&x<1\\0&x=1\\2-(x-1)^{2}&x>1\end{cases}}}
불연속점
a
∈
I
{\displaystyle a\in I}
제2종 불연속점 이라고 한다.
(좌/우극한 부재)
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)}
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)}
무한 불연속점 제2종 불연속점
a
∈
I
{\displaystyle a\in I}
무한 불연속점 이라고 한다.
(좌/우극한 무한대)
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)}
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)}
∞
^
{\displaystyle {\hat {\infty }}}
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 무한 불연속점이다.
f
(
x
)
=
{
sin
5
x
−
1
x
<
1
0
x
=
1
1
x
−
1
x
>
1
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x<1\\0&x=1\\{\frac {1}{x-1}}&x>1\end{cases}}}
제2종 불연속점
a
∈
I
{\displaystyle a\in I}
진동 불연속점 이라고 한다.
(좌·우극한 무한대 아님)
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)}
∞
^
{\displaystyle {\hat {\infty }}}
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)}
∞
^
{\displaystyle {\hat {\infty }}}
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 진동 불연속점이다.
f
(
x
)
=
{
sin
5
x
−
1
x
≠
1
0
x
=
1
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&x\neq 1\\0&x=1\end{cases}}}
함수의 연속점의 집합은 항상 Gδ 집합 이다. 함수의 불연속점의 집합은 항상 Fσ 집합 이다.
실변수 실숫값 함수의 제1종 불연속점의 집합은 가산 집합 이다.
편의상, 실수 구간
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
E
⊆
I
{\displaystyle E\subseteq I}
E
=
⋃
n
=
1
∞
E
n
{\displaystyle E=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}}
E
n
=
{
a
∈
I
:
w
f
(
a
)
>
1
n
}
{\displaystyle E_{n}=\left\{a\in I\colon w_{f}(a)>{\frac {1}{n}}\right\}}
w
f
(
a
)
=
lim sup
x
→
a
f
(
x
)
−
lim inf
x
→
a
f
(
x
)
{\displaystyle w_{f}(a)=\limsup _{x\to a}f(x)-\liminf _{x\to a}f(x)}
이제 각
E
n
{\displaystyle E_{n}}
a
∈
E
n
{\displaystyle a\in E_{n}}
a
{\displaystyle a}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
f
(
x
)
−
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
|
<
1
2
n
∀
x
∈
(
a
−
δ
,
a
)
{\displaystyle \left|f(x)-\lim _{x\to a^{-}}f(x)\right|<{\frac {1}{2n}}\qquad \forall x\in (a-\delta ,a)}
|
f
(
x
)
−
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
|
<
1
2
n
∀
x
∈
(
a
,
a
+
δ
)
{\displaystyle \left|f(x)-\lim _{x\to a^{+}}f(x)\right|<{\frac {1}{2n}}\qquad \forall x\in (a,a+\delta )}
따라서
w
f
(
x
)
≤
sup
s
,
t
∈
(
a
−
δ
,
a
)
|
f
(
s
)
−
f
(
t
)
|
≤
1
n
∀
x
∈
(
a
−
δ
,
a
)
{\displaystyle w_{f}(x)\leq \sup _{s,t\in (a-\delta ,a)}|f(s)-f(t)|\leq {\frac {1}{n}}\qquad \forall x\in (a-\delta ,a)}
w
f
(
x
)
≤
sup
s
,
t
∈
(
a
,
a
+
δ
)
|
f
(
s
)
−
f
(
t
)
|
≤
1
n
∀
x
∈
(
a
,
a
+
δ
)
{\displaystyle w_{f}(x)\leq \sup _{s,t\in (a,a+\delta )}|f(s)-f(t)|\leq {\frac {1}{n}}\qquad \forall x\in (a,a+\delta )}
즉, 각
E
n
{\displaystyle E_{n}}
가산 집합 이다. 즉,
E
{\displaystyle E}
특히, 실변수 실숫값 단조함수 의 불연속점은 항상 제1종 불연속점이므로, 단조함수의 불연속점 집합은 커야 가산 집합이다. 이를 프로다의 정리 (영어 : Froda's theorem )라고 한다.
디리클레 함수
f
(
x
)
=
{
1
x
∈
Q
0
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
의 불연속점 집합은 실수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 진동 불연속점이다.
토메 함수
f
(
x
)
=
{
1
q
x
=
p
q
;
p
,
q
∈
Z
;
q
>
0
;
gcd
{
p
,
q
}
=
1
0
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}};p,q\in \mathbb {Z} ;q>0;\gcd\{p,q\}=1\\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
불연속점 집합은 유리수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.
전체 유리수를 나열한 수열
(
r
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (r_{n})_{n=0}^{\infty }}
f
(
x
)
=
∑
n
∈
N
:
r
n
<
x
1
2
n
(
x
∈
R
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} \colon r_{n}<x}{\frac {1}{2^{n}}}\qquad (x\in \mathbb {R} )}
그렇다면,
f
{\displaystyle f}
증가함수 이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.
