슈티펠-휘트니 특성류

대수적 위상수학에서 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel-Whitney特性類, 영어: Stiefel–Whitney class)는 실수 벡터 다발을 분류하는 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 계수 특성류이다. 이는 복소수 벡터 다발이 천 특성류에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 실수 유한 차원 벡터 다발 ${\displaystyle E}$의 슈티펠-휘트니 특성류

${\displaystyle w(E)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2})}$

는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 특성류이다.

• (직합의 분해) 임의의 벡터 다발 ${\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow X}$에 대하여, ${\displaystyle w(E\oplus E')=w(E)\smile w(E')}$
• (당김) 임의의 연속 함수 ${\displaystyle X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$
• (계수) ${\displaystyle w(E)\in \operatorname {H} ^{\leq \dim _{\mathbb {R} }E}(X)}$이며, ${\displaystyle w_{0}(E)=1}$이다.
• (규격화) 실수 사영 직선 ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$의 자명 선다발 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {RP} ^{1}}(-1)}$의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$의 코호몰로지 환이 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {RP} ^{1};\mathbb {F} _{2})\cong \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})}$, ${\displaystyle \deg x=1}$이라면 ${\displaystyle w({\mathcal {O}}_{\mathbb {RP} ^{1}}(-1))=1+x}$이다.

이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다.

아벨 군의 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\to 0}$

에 대한 복시테인 준동형

${\displaystyle \beta \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} ^{\bullet +1}(X;\mathbb {Z} )}$

를 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$의 정수 슈티펠-휘트니 특성류 ${\displaystyle \beta w}$는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 상이다.

${\displaystyle \beta w(E)\in \operatorname {H} ^{\leq \dim _{\mathbb {R} }E+1}(X;\mathbb {Z} )}$

유한 차원 실수 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$의 우 특성류([吳]特性類, 영어: Wu class) ${\displaystyle W(E)}$는 그 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.

${\displaystyle W(E)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2})}$

${\displaystyle w(E)=\operatorname {Sq} (W(E))=\sum _{i}\operatorname {Sq} ^{i}(W(E))}$

슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다.

 이 부분의 본문은 톰 공간입니다.

슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.^[1]

${\displaystyle n}$차원 실수 벡터 다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})={\begin{cases}0&i<n\\\operatorname {H} ^{i-n}(X;\mathbb {F} _{2})&i\geq n\end{cases}}}$

또한, ${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})}$ 속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류 ${\displaystyle \Phi \in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})}$가 존재한다.

• 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 올 ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$에 국한한 코호몰로지류 ${\displaystyle \Phi |_{(\pi ^{-1}(x),\pi ^{-1}(x)\setminus \{x\})}\in \operatorname {H} ^{n}(\pi ^{-1}(x),\pi ^{-1}(x)\setminus \{x\};\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\};\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {H} ^{n}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {F} _{2})\cong \mathbb {F} _{2}}$는 0이 아니다.

이를 톰 특성류라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2}){\xrightarrow {\pi ^{*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(E;\mathbb {F} _{2}){\xrightarrow {\smile \Phi }}\operatorname {H} ^{\bullet +n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})}$

이 경우, ${\displaystyle (\smile \Phi )\circ \pi ^{*}}$는 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 벡터 공간의 동형 사상이다. 이를 톰 동형이라고 한다.

기본 코호몰로지류 ${\displaystyle \Phi }$의 총 스틴로드 제곱

${\displaystyle \operatorname {Sq} \Phi =\sum _{i}\operatorname {Sq} ^{i}\Phi \in \operatorname {H} ^{\geq n}(E,E\setminus X;\mathbb {F} _{2})}$

를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다.

${\displaystyle w(E)=\left((\smile \Phi )\circ \pi ^{*}\right)^{-1}(\operatorname {Sq} \Phi )}$

선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.

${\displaystyle n}$차원 실수 벡터 다발은 무한 그라스만 다양체 ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$에 의하여 분류된다. 특히, 실수 선다발은 무한 사영 공간 ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{\infty })=\operatorname {RP} ^{\infty }}$에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간

${\displaystyle \operatorname {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} /2,1)}$

이다.

실수 선다발 ${\displaystyle L\twoheadrightarrow X}$에 대응하는 연속 함수

${\displaystyle f\colon X\to \operatorname {RP} ^{\infty }}$

를 생각하자. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라,

${\displaystyle \hom _{\operatorname {hTop} _{\bullet }}\left(X,\operatorname {RP} ^{\infty }\right)\cong \operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {F} _{2})}$

이다. 그렇다면, 실수 선다발 ${\displaystyle L}$의 슈티펠-휘트니 특성류 ${\displaystyle w(L)=1+w_{1}(L)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle w_{1}(L)=[f]\in \operatorname {H} ^{1}(X;\mathbb {F} _{2})}$

여기서 ${\displaystyle [f]}$는 ${\displaystyle f}$의 호모토피류를 뜻한다.

일반적으로 특성류는 매끄러움 구조 또는 복소구조에 의존한다. 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 (위상) 다양체의 불변량이다. 즉, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다. 우 정리([吳]定理, 영어: Wu’s theorem)에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다.

처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• 가향 벡터 다발이다.
• 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.

특히, 다양체 ${\displaystyle M}$이 가향 다양체일 필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• 스핀 구조를 갖는다.
• 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.

특히, 다양체 ${\displaystyle M}$이 스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$위의 유한 차원 실수 벡터 다발 ${\displaystyle E}$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• 스핀C 구조를 갖는다.
• 1차 슈티펠-휘트니 특성류 ${\displaystyle w_{1}(E)\in \operatorname {H} (M;\mathbb {F} _{2})}$가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류 ${\displaystyle \beta w_{2}(E)\in \operatorname {H} ^{3}(X;\mathbb {Z} )}$가 0이다.

특히, 다양체 ${\displaystyle M}$이 스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

에두아르트 슈티펠(독일어: Eduard Stiefel)^[2]과 해슬러 휘트니^[3]가 발견하였다.

우 특성류는 우원쥔(중국어 간체자: 吴文俊, 정체자: 吳文俊, 병음: Wú Wénjùn, 한자음: 오문준)이 도입하였다.^[4]

• 특성류

• “Stiefel-Whitney class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Stiefel number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Stiefel-Whitney class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Stiefel-Whitney number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Stiefel-Whitney class”. 《nLab》 (영어). 
• “Integral Stiefel-Whitney class”. 《nLab》 (영어). 
• “Wu class”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 12월 16일). “Stiefel-Whitney classes”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 12월 17일). “The Stiefel-Whitney classes of projective space”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2011년 10월 18일). “Thom’s construction of the Stiefel-Whitney classes”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2011년 12월 27일). “Wu’s theorem on the Stiefel-Whitney classes of a manifold”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어).