코호몰로지 환

대수적 위상수학에서 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 코호몰로지 환은 환 곱셈 역할을 하는 합곱과 함께 ${\displaystyle X}$의 코호몰로지 군에서 형성된 환이다. 여기서 '코호몰로지'는 일반적으로 특이 코호몰로지로 이해되지만 환 구조는 드 람 코호몰로지와 같은 다른 이론에도 존재한다. 그것은 또한 함자적이다: 공간의 연속 사상에 대해 코호몰로지 환에서 반변인 환 준동형사상을 얻는다.

구체적으로, 계수가 가환 환 ${\displaystyle R}$(일반적으로 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$)인 ${\displaystyle X}$ 상의 코호몰로지 군 ${\displaystyle H^{k}(X;R)}$들의 열이 주어지면 다음과 같은 형태로 합곱을 정의할 수 있다:

${\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

합곱은 코호몰로지 군들의 직합

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}$

에 곱셈으로 볼 수 있다. 이 곱셈은 ${\displaystyle H^{*}(X;R)}$를 환으로 바꾼다. 사실, 음이 아닌 정수 ${\displaystyle k}$가 차수 역할을 하는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$-등급 환이다. 합곱은 이 등급을 준수한다.

코호몰로지 환은 합곱이 등급에 의해 결정된 부호까지 교환한다는 의미에서 등급-가환적이다. 구체적으로, ${\displaystyle k}$와 ${\displaystyle l}$ 차의 순수 원소에 대해;

${\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}$

코호몰로지 환에서 파생된 수치적 불변량은 합곱 길이이며, 이는 곱했을 때 0이 아닌 결과가 나오는 차수 ≥ 1인 등급 원소의 최대 수를 의미한다. 예를 들어 복소 사영 공간의 합곱 길이는 복소 차원과 같다.

• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$ 어디 ${\displaystyle |\alpha |=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]}$ 어디 ${\displaystyle |\alpha |=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$ 어디 ${\displaystyle |\alpha |=2}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$ 어디 ${\displaystyle |\alpha |=2}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$ 어디 ${\displaystyle |\alpha |=4}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$ 어디 ${\displaystyle |\alpha |=4}$.
• 퀴네트 공식에 의해, ${\displaystyle n}$개의 ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$들의 데카르트 곱의 mod 2 코호몰로지 환은 계수가 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$의 원소인 ${\displaystyle n}$변수의 다항식 환이다..
• 쐐기 합의 축소된 코호몰로지 환은 그들의 축소된 코호몰로지 환의 직곱이다.
• 서스펜션의 코호몰로지 환은 0차인 부분을 제외하고 사라진다.

• 양자 코호몰로지

• Novikov, S. P. (1996). 《Topology I, General Survey》. Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.