이원수 (수학)

이원수(二元數, 영어: dual number)는 실수에 하나의 멱영원을 추가하여 얻는 가환환이다. 복소수와 마찬가지로 2차원 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-대수를 이루지만, 복소수와는 달리 체를 이루지 못한다.

이원수는 실수에 ${\displaystyle \epsilon ^{2}=0}$인 수 ${\displaystyle \epsilon }$을 추가하여 얻는다. 엄밀히 말하자면, 이원수의 집합은 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$로 여길 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$를 ${\displaystyle a+b\epsilon }$으로 쓰자.다음과 같은 덧셈과 덧셈의 역, 곱셈을 정의할 수 있다.

${\displaystyle (a+b\epsilon )+(c+d\epsilon )=(a+c)+(b+d)\epsilon }$

${\displaystyle -(a+b\epsilon )=(-a)+(-b)\epsilon }$

${\displaystyle (a+b\epsilon )(c+d\epsilon )=ac+(bc+ad)\epsilon }$

이 연산들에 따라서, 이원수의 집합은 가환환을 이룬다.

이원수 ${\displaystyle a+b\epsilon }$는 2×2 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}$의 부분환으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle a+b\epsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$

이원수의 집합은 (곱셈 항등원을 갖는) 가환환을 이루지만, 멱영원 ${\displaystyle \epsilon }$이 존재하므로 정역을 이루지 않는다. 이원수환은 국소환을 이루며, 유일한 극대 아이디얼은 주 아이디얼 ${\displaystyle (\epsilon )}$이다.

이원수환에서 가역원은 ${\displaystyle a\neq 0}$인 ${\displaystyle a+b\epsilon }$이며, 그 역은 다음과 같다.

${\displaystyle (a+b\epsilon )^{-1}=1/a-(b/a^{2})\epsilon }$

이원수는 2차원 가환 결합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-대수를 이룬다.

이원수는 물리학에서 초대칭을 다룰 때 사용된다. 이원수의 공간은 초공간의 가장 간단한 예이며, ${\displaystyle \epsilon }$은 반가환수가 된다.

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dual number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

• 복소수
• 분할복소수