에라토스테네스의 체 수학에서 에라토스테네스의 체는 소수를 찾는 빠르고 쉬운 방법이다. 고대 그리스 수학자 에라토스테네스가 발견하였다. 알고리즘
그림의 경우, 이므로 11보다 작은 수의 배수들만 지워도 충분하다. 즉, 120보다 작거나 같은 수 가운데 2, 3, 5, 7의 배수를 지우고 남는 수는 모두 소수이다. 에라토스테네스의 체를 프로그래밍 언어로 구현◆ C++로 이 알고리즘을 다음과 같이 구현할 수 있다. void Eratos(int n)
{
/* 만일 n이 1보다 작거나 같으면 함수 종료 */
if (n <= 1) return;
/* 2부터 n까지 n-1개를 저장할 수 있는 배열 할당
배열 참조 번호와 소수와 일치하도록 배열의 크기는
n+1 길이만큼 할당(인덱스 번호 0과 1은 사용하지 않음) */
bool* PrimeArray = new bool[n + 1];
/* 배열초기화: 처음엔 모두 소수로 보고 true값을 줌 */
for (int i = 2; i <= n; i++)
PrimeArray[i] = true;
/* 에라토스테네스의 체에 맞게 소수를 구함
만일, PrimeArray[i]가 true이면 i 이후의 i 배수는 약수로 i를
가지고 있는 것이 되므로 i 이후의 i 배수에 대해 false값을 준다.
PrimeArray[i]가 false이면 i는 이미 소수가 아니므로 i의 배수 역시
소수가 아니게 된다. 그러므로 검사할 필요도 없다.
또한 i*k (k < i) 까지는 이미 검사되었으므로 j시작 값은 i*2에서 i*i로 개선할 수 있다.
*/
for (int i = 2; i * i <= n; i++)
{
if (PrimeArray[i])
{
for (int j = i * i; j <= n; j += i)
PrimeArray[j] = false;
}
}
// 이후의 작업 ...
}
◆ java 로 구현 public class Eratos {
public static void main(String[] args) {
// ArrayList로 구현
ArrayList<Boolean> primeList;
// 사용자로부터의 콘솔 입력
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
// n <= 1 일 때 종료
if(n <= 1) return;
// n+1만큼 할당
primeList = new ArrayList<Boolean>(n+1);
// 0번째와 1번째를 소수 아님으로 처리
primeList.add(false);
primeList.add(false);
// 2~ n까지 소수로 설정
for(int i=2; i<=n; i++ )
primeList.add(i, true);
// 2부터 ~ i*i <= n
// 각각의 배수들을 지워간다.
for(int i=2; (i*i)<=n; i++){
if(primeList.get(i)){
for(int j = i*i; j<=n; j+=i) primeList.set(j, false);
//i*i 미만은 이미 처리되었으므로 j의 시작값은 i*i로 최적화할 수 있다.
}
}
StringBuffer sb = new StringBuffer();
sb.append("{");
for(int i=0; i<=n; i++){
if(primeList.get(i) == true){
sb.append(i);
sb.append(",");
}
}
sb.setCharAt(sb.length()-1, '}');
System.out.println(sb.toString());
}
}
def prime_list(n):
# 에라토스테네스의 체 초기화: n개 요소에 True 설정(소수로 간주)
sieve = [True] * n
# n의 최대 약수가 sqrt(n) 이하이므로 i=sqrt(n)까지 검사
m = int(n ** 0.5)
for i in range(2, m + 1):
if sieve[i] == True: # i가 소수인 경우
for j in range(i+i, n, i): # i이후 i의 배수들을 False 판정
sieve[j] = False
# 소수 목록 산출
return [i for i in range(2, n) if sieve[i] == True]
결과: prime_list(20)
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]
max(prime_list(1000000))
999983
◆ Haskell 로 구현 타입 정보 있는 버전 (권장) primes :: [Int]
primes = sieve [2..]
where sieve :: [Int] -> [Int]
sieve (prime : xs) = prime : sieve [x | x <- xs, x `mod` prime /= 0]
타입 정보 없는 버전 (Haskell의 타입 추론 이용) primes = sieve [2..]
where sieve (prime : xs) = prime : sieve [x | x <- xs, x `mod` prime /= 0]
결과: -- 처음 소수 10개 찾기
take 10 primes
[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29]
-- 100보다 큰 소수 5개 찾기
take 5 $ filter (>100) primes
[101,103,107,109,113]
같이 보기각주
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Index:
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