소수 계량 함수소수 계량 함수(素數計量函數, 영어: prime-counting function)는 주어진 양의 실수 에 대해 그 값보다 작거나 같은 소수의 개수를 세는 함수이다. 보통 그리스 소문자 π를 이용해 π(x)로 표기하지만, 원주율 π와는 관계가 없다. 역사정수론에서 소수 개수의 증가 속도는 매우 중요한 관심 대상이다. 18세기 말 카를 프리드리히 가우스와 아드리앵마리 르장드르는 소수 계량 함수가 에 근접함을 추측했다. 즉, 라고 생각했고, 이는 소수 정리에 해당한다. 이와 동치로서 다음 극한이 있다. 여기서 li는 로그 적분 함수를 의미한다. 1859년 베른하르트 리만이 도입한 리만 제타 함수의 성질을 이용하여 1896년에 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 각각 독립적으로 소수 정리를 증명하였다. 명시적 공식소수 계량 함수는 다음과 같은 폰 망골트 명시적 공식(영어: von Mangoldt explicit formula)을 따른다.[1] 이는 다른 L-함수들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.
이는 베른하르트 리만이 1859년에 발표한 논문의 주 내용인데, 엄밀한 증명은 1895년에 와서야 수학자 폰 망골트에 의해서 이루어졌다. 폰 망골트는 이 공식을 증명하면서 밑의 (사실상 동치인) 공식도 증명하였는데, 이는 다음과 같다: 여기서
π(x), x / ln x, 및 li(x)의 수치적 계산 결과다음 표는 세 함수를 직접 계산한 결과를 보여준다.
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