오스굿 유일성 정리

국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 유일성의 증명은 다음과 같다. 귀류법을 사용하여, 서로 다른 두 해 ${\displaystyle \phi ,\psi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U}$를 갖는다고 가정하자. 그렇다면 ${\displaystyle \phi (s)\neq \psi (s)}$인 ${\displaystyle s\in (t_{0},t_{0}+a]}$가 존재한다. 이제

${\displaystyle {\tilde {s}}=\sup\{t\in [t_{0},s]\colon \phi (t)=\psi (t)\}\in [t_{0},s)}$

${\displaystyle h\colon [{\tilde {s}},s]\to [0,\infty )}$

${\displaystyle h\colon t\mapsto |\phi (t)-\psi (t)|}$

라고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle t\in ({\tilde {s}},s]}$에 대하여

${\displaystyle h'(t)={\frac {\langle \phi (t)-\psi (t)\rangle ,\phi '(t)-\psi '(t)\rangle }{|\phi (t)-\psi (t)|}}\leq |\phi '(t)-\psi '(t)|=|f(t,\phi (t))-f(t,\psi (t))|\leq g(|\phi (t)-\psi (t)|)=g(h(t))}$

이다. 즉,

${\displaystyle {\frac {h'(t)}{g(h(t))}}\leq 1}$

이다. 따라서

${\displaystyle \int _{0}^{h(s)}{\frac {\mathrm {d} r}{g(r)}}=\int _{\tilde {s}}^{s}{\frac {h'(t)\mathrm {d} t}{g(h(t))}}\leq s-{\tilde {s}}<\infty }$

이며, 이는 모순이다.