유리근 정리

${\displaystyle r/s}$가 ${\displaystyle p(x)}$의 근이므로,

${\displaystyle {\begin{aligned}0=s^{n}0=s^{n}p\left({\frac {r}{s}}\right)&=s^{n}\left(r_{n}{\frac {r^{n}}{s^{n}}}+r_{n-1}{\frac {r^{n-1}}{s^{n-1}}}+\cdots r_{1}{\frac {r}{s}}+r_{0}\right)\\&=r_{n}r^{n}+r_{n-1}r^{n-1}s+\cdots +r_{1}rs^{n-1}+r_{0}s^{n}\end{aligned}}}$

이다. 따라서

${\displaystyle r\mid -r_{n}r^{n}-r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots -r_{1}rs^{n-1}=r_{0}s^{n}}$

${\displaystyle s\mid -r_{n-1}r^{n-1}s-\cdots -r_{1}rs^{n-1}-r_{0}s^{n}=r_{n}r^{n}}$

이다. 또한, ${\displaystyle \gcd\{r,s^{n}\}=\gcd\{s,r^{n}\}=1}$이므로,

${\displaystyle r\mid r_{0}}$

${\displaystyle s\mid r_{n}}$

이다.